¿Por qué $\lim_{x \to 0^+} \arctan(\ln x) = \frac{-\pi}{2}$?

Question

Estoy tratando de averiguar cómo puedo resolver $\lim_{x \to 0^+} \arctan(\ln x)$ sin mirar a Desmos. Sé que equivale a $\frac{-\pi}{2}$ pero no estoy seguro de por qué.

Pensé que podría resolver este tipo de problema encontrando la intersección de los rangos tanto de $\ln x$ como de $\arctan x$.

En otras palabras, $[0, \infty) \cap [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] = [0, \frac{\pi}{2}]$.

Dado que 0 es el límite inferior, pondría cero como respuesta.

Excepto que sé que eso está mal.

¿Cómo puedo averiguar por qué $\lim_{x \to 0^+} \arctan(\ln x) = \frac{-\pi}{2}$ sin mirar a Desmos?

Answer 1

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) = - \infty$$

y

$$\lim_{x \rightarrow - \infty} \arctan(x) = - \frac{\pi}{2}$$