¿Es todo polinomio de la forma $2x^{2n} - x^n +1$ irreducible para $n>0$?
Motivación: Hace unos años, un estudiante preguntó si $29$ era el número más grande que es primo y uno más que un número perfecto. Lo obvio que hacer aquí es tratar de demostrar que todo número perfecto par $n$ debe ser de la forma $2^{p-1}(2^p -1)$ y luego hacer una serie de restricciones de congruencia para $p$ basadas en esto. Se puede intentar hacer una congruencia de este tipo para grandes posibilidades. Se puede para cualquier lista finita de primos se puede obtener que $n$ no es $0$ mod $p$ para ninguno de esos primos. Pero se pueden obtener muchas otras restricciones. Por ejemplo, si $p \equiv 1 \pmod 3$, entonces $2^{p-1}(2^p -1) +1 \equiv 0 \pmod 7$, y si $p \equiv 7 \pmod{10}$, entonces $2^{p-1}(2^p -1) +1 \equiv 0 \pmod{11}$. Sin embargo, cualquier lista finita de este tipo va a fallar en resolver el problema. Eso es porque para cualquier primo $q$ si $p \equiv 1 \pmod{q-1}$, entonces $$2^{p-1}(2^p -1) +1 \equiv 2 \pmod q.$$
Así que le dije al estudiante que este problema no parecía realmente atacable porque el único enfoque obvio tenía una obstrucción fundamental. Pero luego se me ocurrió muy recientemente que podría haber una forma de solucionar esto. En particular, si $2x^{2n} - x^n +1$ tiene una factorización no trivial para algún $n$, entonces esto nos permite descartar primos donde $p \equiv 1 \pmod{n}$ y así podríamos posiblemente obtener una lista de congruencias que sea suficiente. Sin embargo, parece que esto no sucede. En particular, para $1 \leq n \leq 50$, $2x^{2n} - x^n +1$ es irreducible. También he comprobado esto para algunos $n$ mayores aislados, como $n=360$. Nota que si $2x^{2n} - x^n +1$ es irreducible, entonces lo es $2x^{2d} - x^d +1$ para cualquier divisor $d$ de $n$.
Las direcciones obvias para tratar de demostrar que esto es irreducible no parecen funcionar. El polinomio recíproco es $p(x)= x^{2n} -x^n +2$ pero eso no parece ser muy útil aquí. No hay una sustitución obvia para usar Eisenstein. Perron falla en general tanto para el polinomio como para el polinomio recíproco. El criterio de Cohn falla porque uno de los coeficientes es negativo. Hay algunos papers que prueban reglas específicas para la irreducibilidad de trinomios como el de el paper de Koley y Reddy "Criterio de irreducibilidad para ciertos trinomios" pero eso parece insuficiente. Se podría esperar usar el Teorema 3 de su paper en el polinomio recíproco, pero eso no parece ser lo suficientemente fuerte. El Teorema 2 de su paper también falla ya que el polinomio recíproco tiene un $2$ y no un $2^2$ para la constante.
Más generalmente, parece que cada polinomio de la forma $2x^{2n} - x^n +k$ es irreducible para $n>0$ y $k \geq 1$, pero tengo mucha menos confianza en que eso sea cierto, y para esos he revisado un rango mucho más pequeño.
