Matemática discreta - mostrar que el argumento es válido usando reglas de inferencia y equivalentes lógicos

Question

Estoy haciendo una prueba de práctica para un examen de lógica de predicados mañana y estoy atascado tratando de resolver la siguiente pregunta. Suponiendo que todas las premisas son verdaderas, se me pide demostrar que el siguiente argumento es válido utilizando solo las reglas de inferencia y equivalencias lógicas.

El universo de discurso son todos los animales.

Dado:

Los animales que viven en el pantano pueden nadar.

Algunas ratas viven en el pantano.

Todas las ratas tienen dientes grandes.

Mostrar:

Existe una rata que tiene dientes grandes y puede nadar.

Lo que he hecho hasta ahora:

Sea W(x) "x vive en un pantano", S(x) "x puede nadar", R(x) "x es una rata" y T(x) "x tiene dientes grandes"

Traducir premisas:

1) x(W(x) → S(x))

2) x(R(x) → W(x))

3) x(R(x) → T(x))

Probar (no estoy seguro si está mal): x(R(x) → T(x) → S(x))

Mi solución hasta ahora:

1) x(W(x) → S(x))

2) x(R(x) → W(x))

3) x(R(x) → T(x))

4) R(y) → W(y) por instantiación existencial (2)

5) W(y) → S(y) por instantiación universal (1)

6) W(y) por simplificación (4)

7) S(y) por modus ponens (5, 6)

8) R(y) → T(y) por instantiación universal (3)

9) R(y) por simplificación (4)

10) T(y) por modus ponens (8, 9)

11) S(y) → T(y) por conjunción (7, 10)

12) R(y) por simplificación (4)

13) (S(y) → T(y)) → R(y) por conjunción (11, 12)

14) R(y) → T(y) → S(y) por conmutatividad (13)

15) x(R(x) → T(x) → S(x)) por generalización existencial (14)

ACTUALIZACIÓN: Vale, corregí algunos errores ¿y creo que obtuve una respuesta? Agradecería si alguien pudiera confirmar mi nueva solución y decirme si cometí algún error.

Todavía estoy un poco inseguro sobre mi declaración de prueba "Existe una rata que tiene dientes grandes y puede nadar". Obtuve x(R(x) → T(x) → S(x)) pero me preguntaba si podría ser x(R(x) → (T(x) → S(x))). ¿Cuál sería la diferencia entre los dos?

Answer 1

Su demostración es correcta. Una nota rápida: 12) es redundante porque ya tienes 9).

De hecho, tienes que demostrar $\exists x: R(x) \land T(x) \land S(x)$.

$\exists x: R(x)\implies(T(x)\land S(x))$ se traduciría como "hay algo que no es una rata; o ese algo tiene dientes grandes y puede nadar." (El o en la última oración, por supuesto, es inclusivo). Esto se debe a que para dos declaraciones $A$, $B$, tenemos $A\implies B \equiv \lnot A \lor B$.

Answer 2

¡Tu prueba es correcta!

Ten en cuenta que puedes evitar la conmutación en la línea 14, porque puedes conjuntar los enunciados en cualquier orden. Por ejemplo, está bien derivar $T(y) \land S(y)$ en la línea 11 ... solo tienes que decir "Conjunción 10,7" en lugar de "Conjunción 7,10".

De hecho, si tu libro o instructor permite conjunciones generalizadas (es decir, si permite un enunciado como $\exists x (R(x) \land T(x) \land S(x))$ sin más paréntesis) entonces probablemente se te permita aplicar la conjunción a cualquier número de enunciados también, es decir, puedes pasar directamente de 12, 10, y 7 a $R(y) \land T(y) \land S(y)$.

Finalmente, sí, $\exists x (R(x) \land T(x) \land S(x))$ es el enunciado correcto para demostrar. Ten en cuenta que $\exists x (R(x) \to (T(x) \land S(x)))$ sería verdadero si hay al menos un objeto en el dominio que no es una rata (porque para ese objeto $R(x)$ es falso, y por lo tanto la condicional completa $R(x) \to (T(x) \land S(x))$ sería verdadera, y por lo tanto tendríamos $\exists x (R(x) \to (T(x) \land S(x)))$, incluso si no hubiera ratas que puedan nadar y tengan dientes grandes .. ¡claramente no lo que queremos!

Answer 3

Has traducido las oraciones correctamente, hecho la suposición correcta y todos los pasos requeridos, pero el orden de los pasos puede ser simplificado y eliminar la redundancia. (No necesitas derivar $R(y)$ dos veces, y puedes elegir el orden en que introduces los conjuntos).

$\def\fitch#1#2{\quad\begin{array}{|l}#1\\\hline #2\end{array}}\fitch{~1.~\forall x~(W(x) \to S(x))\\ ~2.~\exists x~(R(x) \wedge W(x))\\~3.~\forall x~(R(x) \to T(x))}{\fitch{~4.~[y]~R(y)\land W(y)}{~5.~W(y)\to S(y)\hspace{9ex}\forall~\text{E},1\\~6.~R(y)\to T(y)\hspace{9.5ex}\forall~\text{E},3\\~7.~R(y)\hspace{17ex}\wedge\text{E},4\\~8.~T(y)\hspace{17.5ex}{\to}~\text{E},7,6\\~9.~S(y)\hspace{17.5ex}{\to}~\text{E},7,5\\10.~R(y)\wedge T(y)\hspace{10ex}{\wedge}~\text{I},7,8\\11.~R(y)\wedge T(y)\wedge S(y)\hspace{3ex}{\wedge}~\text{I},10,9\\12.~\exists x~(R(x)\wedge T(x)\wedge S(x))\hspace{1ex}\exists~\text{I}, 11}\\13.~\exists x~(R(x)\wedge T(x)\wedge S(x))\hspace{1ex}\exists~\text{E}, 2,4{-}12}$

"Hay algún animal que es una rata, tiene dientes grandes y nada."

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Como otros han afirmado, $\exists x~(R(x)\to T(x)\wedge S(x))$ afirma que "hay algún animal que no es una rata o tiene dientes grandes y nada", y esto podría ser verdad si no hubiera ratas con dientes grandes que nadan. (Si hubiera en cambio un hipopótamo en el pantano, por ejemplo.)

Porque $R(x)\to Q(x)$ es equivalente a $\lnot R(x)\vee Q(x)$