¿Grupo cíclico infinito generado por cada elemento?

Question

Probablemente sea una pregunta estúpida, pero ¿existe un grupo cíclico infinito generado por cada uno de sus elementos no identitarios?

Answer 1

El grupo cíclico infinito es único hasta el isomorfismo. Si $C$ es infinitamente cíclico y está generado por $x$ y por $y$ entonces $x=ky$ y $y=hx$ para algunos $k,h\in\mathbb Z$ . Pero entonces $x=khx$ Así que $hk=1$ y $h=k=1$ o $h=k=-1$ . Así que, o bien $x=y$ o $x=-y$ .

Answer 2

Hasta el isomorfismo sólo hay un grupo cíclico infinito, el de los enteros bajo adición; sólo tiene dos generadores, $1$ y $-1$ .

Answer 3

No. El único grupo cíclico infinito hasta el isomorfismo es $\mathbb{Z}$ que sólo tiene dos generadores.

Answer 4

El único grupo cíclico infinito es $\mathbb{Z}$ . Así que, no.