Estoy tratando de resolver este problema de geometría de un examen. El examen se supone que dura 3 horas, y esto se supone que es 1 de 10 problemas. Dado eso, la solución debería ser algo rápido. Sin embargo, la única solución que he podido encontrar es extremadamente complicada y realmente nunca podría dar una respuesta en menos de 3 horas. Por lo tanto, estoy buscando una solución más simple (la solución prevista) que debería haber podido hacer en el examen. Aquí está el problema:
Considera esta ilustración:
En la imagen, la forma exterior es un cuadrado con longitud de lado $8$, se dibuja un círculo de manera que es tangente a dos lados del cuadrado en los puntos $G$ y $F$, luego se traza la línea $AH$ de manera que es tangente al círculo en el punto $I$ y también de tal manera que la longitud del segmento $AI$ también es igual a $8$. Por último, se dibuja la línea $BJ$ de manera que es tangente al círculo en el punto $K$. Encuentra el área del triángulo azul, es decir, el área de $\triangle{AJB}$.
Hasta ahora, mi enfoque es dividir el cuadrado en 9 áreas diferentes: 
También agregué el segmento $EL$ de manera que sea la continuación de la línea $GE$. A partir de aquí, cuando digo $a_{i}$, me refiero al área de la región $a_{i}$, $r$ será el radio del círculo, $x$ será la longitud del segmento $JI$ y $y$ será la longitud del segmento $IH$.
Entonces queremos encontrar $a_{9}$
Notemos que:
$$ a_{1} = a_{2} = \frac{r(8-r)}{2} \\ a_{3} = r^2 \\ a_{4} = a_{5} = \frac{ry}{2} \\ a_{6} = a_{7} = \frac{rx}{2} \\ a_{8} = \frac{8(8-r-y)}{2} = 4(8-r-y) \\ a_{1} + \cdots + a_{9} = 8*8 = 64 \\ a_{1} + \cdots + a_{8} = 4r + ry + rx + 32 - 4y = 32 + r(4 + x) + y(r - 4) \\ a_{9} = 64 - (32 + r(4 + x) + y(r - 4)) = 32 - r(4 + x) + y(4 - r) $$
Entonces a partir de aquí realmente todo lo que necesitamos hacer es encontrar $x, y, r$ y problema resuelto, ¿verdad? Encontrar $r$ es bastante fácil, notemos que el segmento de línea $AE$ se puede pensar como la hipotenusa de $\triangle{AIE}$ y la hipotenusa de $\triangle{AEL}$. Usando Pitágoras, tenemos $8^2 + r^2 = (8-r)^2 + (8-r)^2$. Resolviendo para $r$ obtenemos dos soluciones: $16+8\sqrt{3}, 16-8\sqrt{3}$ y como $r$ es menor que $8$, entonces la segunda es nuestro valor de $r$.
Para encontrar el valor de $y$, notemos que aplicando Pitágoras en $\triangle{ACH}$, tenemos: $(8 + y)^2 = 8^2 + (8-r-y)^2$, y dado que sabemos el valor de $r$ podemos resolver para $y$ y obtenemos $y = \frac{16\sqrt{3}-24}{3}$.
A partir de aquí, en realidad no sé cómo encontrar el valor de $x$, así que volví a nuestra expresión para el área deseada $a_{9} = 32 - r(4 + x) + y(4 - r)$, inserté los valores de $r$ y $y$ para hacer que el área sea una función de $x$, luego encontré otra función de $x$ para el área, usando la fórmula de Herón. Notemos que el perímetro del triángulo deseado es igual a $8 + (8 - x) + (8 - r + x)$, y al insertar $r$ obtenemos que el semiperímetro $S$ debería ser igual a $S = 4 \sqrt{3} + 4$. Dado que los lados del triángulo tienen longitud $8, 8-x, 8-r+x$ y dado que tenemos valores precisos para el semiperímetro y $r$, podemos hacer una función para el área basada en los valores de $x$. Si igualamos estas dos funciones entre sí y resolvemos la ecuación, obtenemos dos valores que son posibles candidatos para $x$.
El problema es que estos valores son muy complicados, involucran números muy grandes y un montón de expresiones radicales, por eso renuncié a esta solución, realísticamente si no fuera por Symbolab resolviendo la ecuación por mí, probablemente no habría tenido tiempo para hacerlo en el examen.
Así que por eso estoy escribiendo este post: me gustaría que me ayuden a encontrar un valor concreto para $x$ de una manera más fácil, o tal vez una forma completamente diferente de calcular el área que no implique $x$, cualquier cosa que sea más simple que lo que he estado haciendo.
Gracias por leer todo esto, sé que es un post bastante largo.
