$\mathbb{P}^1_{k'}$ no es suave sobre $k$ si $k'/k$ finito inseparable

Question

Sea $k'$ una extensión finita inseparable de un campo $k$, con $k$ no perfecto. Quiero demostrar que $\mathbb{P}^1_{k'}$ no es suave sobre $k$.

Como todo es local, supongo que esto es equivalente a que $\mathbb{A}^1_{k'}$ no es suave sobre $k$, es decir, que $\operatorname{Spec}(k'[x]\otimes_k\overline{k})$ no es regular, pero no veo cómo simplificar este producto tensorial.

Answer 1

Decimos que $k = \Bbb F_p(t^p)$ y $k' = \Bbb F_p(t)$.

Lo primero que hay que hacer es averiguar qué es exactamente $k' \otimes_k k'$. Dado que $k'$ es un espacio vectorial sobre $k$ de dimensión $p$, esto va a ser un espacio vectorial sobre $k$ de dimensión $p^2$, o también un espacio vectorial sobre $k'$ de dimensión $p$.

Si consideras $k' \otimes_k k'$ como un espacio vectorial sobre $k'$ con multiplicación a la derecha, una base es la familia $1 \otimes 1, t \otimes 1, t^2 \otimes 1, \ldots, t^{p-1} \otimes 1.
Sea $\varepsilon = 1 \otimes 1 - t \otimes t^{-1}$. Debería ser fácil comprobar que con respecto a esta base, la matriz de la familia $1 \otimes 1, \varepsilon, \varepsilon^2 \ldots, \varepsilon^{p-1}$ es una matriz triangular con entradas distintas de cero en la diagonal, por lo que también es una base de $k'$ para $k' \otimes_k k'$.
Finalmente, $\varepsilon^p = 1 \otimes 1 - (t^p \otimes t^{-p}) = 1 \otimes 1 - 1 \otimes 1 = 0$. Concluimos que $k' \otimes_k k'$ es isomorfo a $k'[\varepsilon]/(\varepsilon^p)$. Y sí, todo el mundo tiene bastante cantidad de raíces $p$-ésimas en este anillo.

De manera similar, nuestro anillo de interés $A = k'[x] \otimes_k \bar k \simeq \bar k[x,\varepsilon]/(\varepsilon^p).

El espectro de esto es el mismo que el $\operatorname{Spec}(\bar{k}[x])$ regular, pero donde añadimos $\varepsilon$ a cada ideal primo: Dado que $\varepsilon^p = 0$, $\varepsilon$ está en el radical de $A$, así que está incluido en cualquier ideal primo. Los ideales primos de $A$ corresponden entonces a ideales primos de $A/(\varepsilon) = \bar k[x].

La localización en el primo $(x,\varepsilon)$ es un anillo local cuyo ideal maximal $\frak m$ es generado por $x$ y $\varepsilon. No es regular porque está generado por $2$ elementos mientras que la dimensión del anillo es $1.

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si $k \subset k'$ es Galois, entonces $k' \otimes_k k' = k'^{[k':k]}$ (esto es en realidad una caracterización de la galoidad), y el espectro de $k' \otimes_k \bar k$ es $[k':k]$ puntos geométricos separados. A partir de ahí, esperemos que puedas comprobar la suavidad sin problema.