¿Puede esta suma converger alguna vez?

Question

Si tengo una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos, $n_1<n_2<\cdots$ ¿puede converger la siguiente suma?

$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n_i} (n_{i+1}-n_{i}) $$

Sospecho (y me gustaría probarlo) que siempre diverge. Sin embargo, no he avanzado mucho hasta ahora.

En una nota relacionada, ¿hay alguna caracterización de qué subsecuencias de $1/n$ tienen una suma convergente?

Answer 1

Para ampliar mi comentario (oops, y aún más el comentario de Achille Hui que apareció cuando estaba escribiendo): $$ \frac{n_{i+1}-n_i}{n_i}\geq \int_{n_i}^{n_{i+1}}\frac{1}{t}dt\;\Rightarrow \; \sum_{i=1}^K\frac{n_{i+1}-n_i}{n_i}\geq \int_{n_1}^{n_{K+1}}\frac{1}{t}dt=\log\left(\frac{n_{K+1}}{n_1}\right)\rightarrow +\infty. $$ Por supuesto, $n_K$ tiende a $+\infty$ como $n_k\geq K$ por cada $K$ por inducción.

Para su otra pregunta, se puede dar una respuesta parcial con la ayuda de la noción de densidad natural/asintótica . Si $\liminf \frac{k}{n_k}>0$ entonces existe $m>0$ y $K$ tal que $\frac{k}{n_k}\geq m$ por cada $k\geq K$ De ahí que $\sum_{k\geq K}\frac{1}{n_k}\geq m\sum_{k\geq K}\frac{1}{k}=+\infty$ . Es decir, si el conjunto $\{n_k\;;\;k\geq 1\}$ tiene una densidad inferior asintótica positiva, entonces la serie $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{n_k}$ diverge. Pero lo contrario es falso. Por ejemplo, el conjunto de números primos $\mathcal P$ tiene una densidad asintótica nula y sin embargo $\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=+\infty$ .