Ahora que algunas de las fórmulas previamente MSE que dejé aquí se han aplicado Dic.2023 para calcular valores récord de alta precisión ($10^{12}$ dígitos decimales) de constantes trascendentales $\Gamma(1/3)$ (Eq.B.IV.8) y $\Gamma(1/4)$ (Eq.A.IIIa.4 y Eq.A.III.3) según se reporta en (a) y (b)-(c), he emprendido la búsqueda de series altamente eficientes $s$ para calcular $\log(2)$, $\log(3)$ y $\log(5)$ que son calculados por el método de división binaria. He encontrado una serie conjeturada para $s=\log(3)$, dos para $s=\log(2)$ y una para $s=\log(5)$. No estoy seguro si alguna de ellas ha sido publicada antes, así que la pregunta es muy simple y la misma que la nota anterior: ¿Se conoce alguna de estas series?. Si no, estoy interesado en conocer una demostración para ellas. Quizás mediante pares de Wilf-Zeilberger. Cualquier sugerencia en este sentido es bienvenida.
Usamos la siguiente notación, donde la constante $s$ se expresa como $$s=\sum_{n=1}^\infty\,\rho^n\cdot\frac{p(n)}{r(n)}\cdot\left[\begin{matrix} a & b & c & ... & z \\ A & B & C & ... & Z \\ \end{matrix}\right]_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{p(n)}{r(n)}\cdot\prod_{k=1}^n\frac{r(k)}{q(k)}$$ aquí $p(n),q(n),r(n)$ son polinomios no nulos para $n\in\mathbb{N}$, $q(n)$ y $r(n)$ tienen el mismo grado $d$ y la razón de convergencia $|\rho|$ es el valor absoluto de la razón de los términos principales de $r(n)$ y $q(n)$. La razón de productos de símbolos de Pochhammer (factoriales crecientes) se escribe como $$\left[\begin{matrix} a & b & c & ... & z \\ A & B & C & ... & Z \\ \end{matrix}\right]_n=\frac{(a)_n(b)_n(c)_n ... (z)_n}{(A)_n(B)_n(C)_n ... (Z)_n} $$ donde el grado $d$ es el número de elementos en una fila (son iguales para ambas filas) y $$(w)_n = \frac{\Gamma(w+n)}{\Gamma(w)}=w(w+1)(w+2)...(w+n-1)$$
La velocidad computacional se mide a través del costo de división binaria $$ C_s = - \frac{4d}{\log|\rho|}.$$ Esto permite clasificar y comparar (asintóticamente) diferentes algoritmos tipo hipergeométricos por rendimiento.
Me encontré con estas expresiones. Tres de ellas parecen fórmulas tipo Ramanujan bastante simples,
A. Para $\log(3)$
$$\begin{equation*}\log(3)=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3^{5}}\right)^n\cdot\frac{88\,n-14}{n(2n-1)}\cdot\left[\begin{matrix} 1&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\ \end{matrix}\right]_n\tag{1}\label{1} \end{equation*}$$ Tiene un costo de división binaria $C_s=\frac{8}{5\,\log(3)}=1.4638..$. En pruebas preliminares, esta expresión se desempeña más rápido que la serie conocida más rápida para tal constante que se basa en una fórmula arcotanh tipo Machin de 4 términos con argumentos 251, 449, 4801 y 8749. Ver Tabla 1 aquí.
B. Para $\log(2)$
$$\begin{equation*}\log(2)=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3^{3}\cdot2^{13}}\right)^n\,\frac{686430\,n^3 - 742257\,n^2 + 223397\,n - 13858}{n(2n-1)(3n-1)(3n-2)}\,\left[\begin{matrix} 1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\ \frac{1}{12}&\frac{5}{12}&\frac{7}{12}&\frac{11}{12}\\ \end{matrix}\right]_n\tag{2}\label{2} \end{equation*}$$
Tiene un costo de división binaria $C_s=\frac{16}{\log(3^{3}\cdot2^{13})}=1.3001..$. Las pruebas preliminares muestran que esta serie se desempeña ligeramente más rápido que la serie conocida más rápida para tal constante que se basa en una fórmula arcotanh tipo Machin de 3 términos con argumentos 26, 4801 y 8749. Ver aquí.
La tercera es,
$$\begin{equation*}\log(2)=\frac{1}{2}\,\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3^{5}\cdot2^{4}}\right)^n\cdot\frac{1794\,n-297}{n(2n-1)}\cdot\left[\begin{matrix} 1&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\ \end{matrix}\right]_n\tag{3}\label{3} \end{equation*}$$ Esta expresión tiene un costo de división binaria $C_s=\frac{8}{\log(3^{5}\cdot2^{4})}=0.96786..$. Las pruebas preliminares muestran que esta serie se desempeña mucho más rápido que la serie conocida más rápida para tal constante que se basa en la mencionada fórmula arcotanh de 3 términos.
$\log(2)$ es una constante fundamental importante y esta última expresión, al ser muy eficiente, debería considerarse como una fórmula estándar de alta precisión para esta constante que se incluirá en el software matemático siempre que se implemente como un algoritmo de división binaria. De hecho, esta fórmula formará parte de FLINT según se informa aquí
C. Para $\log(5)$
$$\begin{equation*}\log(5)=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{-1}{3^{3}\cdot5^2}\right)^n\cdot\frac{364\,n-62}{-n(2n-1)}\cdot\left[\begin{matrix} 1&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\ \end{matrix}\right]_n\tag{4}\label{4} \end{equation*}$$ Tiene un costo de división binaria $C_s=\frac{8}{\log(675)}=1.2280..$. Las pruebas preliminares muestran que esta serie se desempeña bastante más rápido que la serie conocida más rápida para tal constante que se basa en una fórmula arcotanh de 4 términos (una combinación lineal de arcotanhs con argumentos 251, 449, 4801 y 8749).
Las ecuaciones (3-4) también permiten obtener valores de alta precisión de $\log(10)$ que es una constante importante en análisis numérico.
P: ¿Se conoce alguna de las Ecs. (1-4)? y si no, ¿sería posible obtener las pruebas?
Me gustaría agradecer al Dr. J. Guillera por alentarme a investigar la búsqueda de estas fórmulas. A H. Cohen y al equipo de PARI GP en la Universidad de Burdeos por esta excelente herramienta de búsqueda paralelizable y a Jordan Ranous en Storage Review por brindarme instalaciones multicore de alto rendimiento.
