Encontrar el determinante de una matriz de $ n \times n $.

Question

Sea $A_{n\times n}$\=$((a_{ij}))$ $n\geq {3}$, donde $a_{ij}=(b_i^2-b_j^2)$, $i,j=1,2,\ldots ,n$ para algunos números reales distintos $b_1,b_2,\ldots ,b_n$.

Entonces, ¿cuál es $\det(A)$?

Claramente la matriz $A$ es antisimétrica y si $n$ es impar entonces el determinante es cero.

Quiero demostrar que para cualquier $n\ge4$, $\det(A)$ es $0$. Para el caso en que $n=4$, he calculado el determinante por el método ordinario.

Quiero generalizarlo, por favor alguien ayude. Gracias.

Answer 1

Permita que el determinante de la matriz de orden $n\gt3$ con las condiciones anteriores $$\begin{equation}\begin{vmatrix}0&a_{12}&a_{13}&a_{14}\cdots& a_{1n}\\a_{21}&0&a_{23}&a_{24}\cdots&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&0 &a_{34}\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&0\end{vmatrix}\end{equation}$$ Tenga en cuenta que $\boxed{a_{ij}-a_{ik}=a_{kj}}$. Restando la segunda columna de la primera, obtenemos $$\begin{equation}\begin{vmatrix}-a_{12}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\cdots& a_{1n}\\a_{21}&0&a_{23}&a_{24}\cdots&a_{2n}\\a_{21}&a_{32}&0 &a_{34}\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{21}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&0\end{vmatrix}\end{equation}$$

y restando ahora la tercera columna de la segunda, obtenemos $$\begin{equation}\begin{vmatrix}-a_{12}&a_{32}&a_{13}&a_{14}\cdots& a_{1n}\\a_{21}&-a_{23}&a_{23}&a_{24}\cdots&a_{2n}\\a_{21}&a_{32}&0 &a_{34}\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{21}&a_{32}&a_{n3}&\cdots&0\end{vmatrix}\end{equation}$$ Dado que $-a_{12}=a_{21}$ y $-a_{23}=a_{32}$ tenemos $$\begin{equation}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{32}&a_{13}&a_{14}\cdots& a_{1n}\\a_{21}&a_{32}&a_{23}&a_{24}\cdots&a_{2n}\\a_{21}&a_{32}&0 &a_{34}\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{21}&a_{32}&a_{n3}&\cdots&0\end{vmatrix}\end{equation}$$ lo cual nos da $$a_{21}a_{32}\begin{equation}\begin{vmatrix}1&1&a_{13}&a_{14}\cdots& a_{1n}\\1&1&a_{23}&a_{24}\cdots&a_{2n}\\1&1&0 &a_{34}\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&a_{n3}&\cdots&0\end{vmatrix}\end{equation}=0$$