Permutación de 4 letras en una palabra de 11 letras: ¿cuántas palabras diferentes podemos hacer?

Question

Inspirado por esta pregunta.

Consideremos la palabra de $11$ letras "$MATHEMATICS$". La pregunta general es cuántas palabras es posible tener si podemos hacer $4$ permutaciones de letras.

Sub-pregunta a)

Cada letra tiene una posición en la palabra, por lo tanto, cuando digo $1$ permutación, intercambiamos la posición de $2$ letras. Por ejemplo, con $1$ permutación es posible tener "$AMTHEMATICS$", pero no "$SMATHEMATIC$". ¿Cuántas palabras es posible hacer con $4$ permutaciones, si ...

• a.1) queremos exactamente $4$ permutaciones y está prohibido tener la permutación $p$ y su inversa. Pero es posible permutar una "$M$" con otra "$M$".
• a.2) lo mismo que a.1) pero está prohibido permutar "$M$" con la otra "$M$".

Sub-pregunta b)

Supongamos que por permutaciones, nos referimos a cambiar las letras en la palabra de tal manera que $4$ permutaciones podrían llevar a "$TICSMATHEMA$" (cuando una letra entra en una nueva posición, las otras letras son empujadas). ¿Cuántas palabras es posible hacer con $4$ permutaciones, si queremos exactamente $4$ permutaciones, es decir, que $4$ letras cambien de posición?

Me parece que no hay una solución trivial. Al menos yo no la veo. Por supuesto, sería interesante tener una solución general para el caso de una palabra con $n$ letras (posiblemente no todas diferentes) con $k$ permutaciones.

Answer 1

Para $a.1$, hay $$\frac {11*10}{2}=55$$ formas de elegir la primera permutación. Si simplemente se prohíben los inversos (el inverso es lo mismo que intercambiar), entonces hay $$\frac {55*54*53*52}{24}$$ formas de elegir cuatro permutaciones. Pero esto ignora el hecho de que puedes mover la misma letra dos veces. Si quieres que ocho letras se muevan en cuatro intercambios, tienes $$\frac {55*36*21*10}{24}$$