La reformulación uso de Möbius geometría
Es posible representar un círculo con el centro $(x,y)$ y radio de $r$ mediante el uso de un vector
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
(x^2 + y^2 - r^2 - 1)/2 \\
(x^2 + y^2 - r^2 + 1)/2
\end{pmatrix}$$
(O cualquier múltiplo de la misma, ya que esta es una representación homogénea.) Dos circunferencias son ortogonales si $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=r_1^2+r_2^2$. Esto es equivalente a $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2-d_1d_2=0$ desde
$$
-2(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2-d_1d_2) = \\
-2x_1x_2 - 2y_1y_2
+ 2(x_1^2+y_1^2-r_1^2)(\tfrac14+\tfrac14)
+ 2(\tfrac14+\tfrac14)(x_2^2+y_2^2-r_2^2) = \\
x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2-r_1^2-r_2^2 = \\
(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-(r_1^2+r_2^2)
$$
Esta representación es a veces llamado Mobius geometría. La forma bilineal $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2-d_1d_2$ tiene firma $(+,+,+,-)$. Así, toda la geometría describe un espacio de Minkowski $\mathbb R^{3,1}$. Usted puede por lo tanto hacer la pregunta equivalente de cómo muchos mutuamente ortogonales (con respecto a la forma bilineal) vectores que puede haber en un espacio de este tipo.
El uso de resultados conocidos
Wikipedia se escribe:
Un ortonormales base para el espacio de Minkowski necesariamente se compone de una timelike y tres spacelike vectores unitarios.
Al parecer esto es una consecuencia de Sylvester ley de la inercia.
La distinción entre timelike y spacelike de la unidad de vectores depende del signo de la forma cuadrática correspondiente a la forma bilineal. Si usted asume que $x_1=x_2$$y_1=y_2$, entonces las diferencias $x_1-x_2$ $y_1-y_2$ en la fórmula anterior se desvanecen. El signo, por tanto, sólo depende del signo de $r^2$. Y desde $r^2$ siempre será positivo para el real círculos, todos los círculos son la misma, es decir, spacelike. Un timelike vector corresponde a un círculo imaginario de radio.
Bien, usted no necesita una unidad de longitud. Pero si usted tiene cuatro spacelike vectores ortogonales, entonces usted podría reducir a unidad de longitud sin necesidad de cambiar el signo de la forma cuadrática, y sin cambiar el círculo que describen. Lo que significa que si usted tenía cuatro reales y pares ortogonal círculos, usted podría deducir una puramente espacio-como la base de aquellos, en contradicción con la declaración anterior.
Observe que la luz-como vectores, es decir, los círculos de radio cero, es decir, puntos, puede no reducirse a unidad de longitud. Pero usted no puede tener dos puntos distintos de ser ortogonales entre sí, ni tres círculos de coincidir en un punto y todavía ser ortogonales entre sí. Así lo señala como un caso especial de los círculos no se soluciona con esto.
Conclusión
De modo que el papel que referencia es la investigación de las propiedades de algo que no existe, o que deliberadamente considere el caso de un imaginario radio, como tu comentario sugiere que otros hicieron.
Ejemplo
La aplicación de la anterior formalismo a un triángulo equilátero de longitud de la arista $\sqrt2$, o más precisamente el triángulo regular con esquinas $(0,\sqrt{2/3}), (\pm\sqrt{1/2},-\sqrt{1/6})$, se obtiene de los círculos de radio $1$ descrito por los vectores
$$
\begin{pmatrix}0\\\sqrt{\frac23}\\-\frac23\\\frac13\end{pmatrix} \qquad
\begin{pmatrix}-\sqrt{\frac12}\\-\sqrt{\frac16}\\-\frac23\\\frac13\end{pmatrix} \qquad
\begin{pmatrix}\sqrt{\frac12}\\-\sqrt{\frac16}\\-\frac23\\\frac13\end{pmatrix}
$$
Se puede comprobar que, de hecho, estas son mutuamente ortogonales, mediante el cálculo de todos los pares de formas bilineales. Usted también puede encontrar un cuarto círculo ortogonal a estas usando el siguiente sistema de ecuaciones, donde ya he aplicado la matriz de la forma bilineal a los vectores (es decir, negaba la última coordenada):
$$\begin{pmatrix}
0&\sqrt{\frac23}&-\frac23&-\frac13 \\
-\sqrt{\frac12}&-\sqrt{\frac16}&-\frac23&-\frac13 \\
\sqrt{\frac12}&-\sqrt{\frac16}&-\frac23&-\frac13
\end{pmatrix}
\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\[2ex]0\\[2ex]0\end{pmatrix}$$
La matriz tiene rango $3$, de modo que el núcleo tiene dimensión $1$, correspondiente a un único círculo definido. Uno de los elementos de que el núcleo podría ser $(0,0,1,-2)$. Con el fin de obtener un representante de la forma señalada anteriormente tenemos que ampliar esto para que $d-c=1$. Obtenemos el vector $(0,0,-1/3,2/3)$ a partir de la cual podemos leer $-r^2=x^2+y^2-r^2=c+d=1/3$ y, por tanto,$r=\sqrt{-1/3}$. (Usted podría haber llegado a esa solución particular más fácilmente, por ejemplo, asumiendo que el $x=y=0$ por razones de simetría. Pero quería mostrar cómo trabaja la maquinaria, así que no tomar ningún atajo.)
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