Pregunta sobre un producto punto

Question

Deje $$w(t)=\begin{cases} 0 &\text{ si } 0\le t\le \frac{1}{2}\\2t-1 &\text{ si }\frac{1}{2}\le t\le 1 \end{cases}$$

¿Es $$\langle f,g\rangle = \int_{0}^{1} w(t)f(t)g(t)dt$$ un producto punto en $C^1[0,1]$?

¿Por qué y cómo probarlo? Gracias por la respuesta.

Answer 1

No es un producto punto. Una de las propiedades de dicho producto es que $\langle f,f\rangle = 0$ si y solo si $f = 0$. Deja

$$ f(t) = \begin{cases} \left(\dfrac12 - t\right)^2 & : t \leq \dfrac12 \\ 0 & : t > \dfrac12 \end{cases} $$

entonces $f \neq 0$. ¿Cuál es $\langle f, f\rangle$?

(Nota: esto cumple con los otros requisitos: es simétrico, es lineal y es positivo semi-definido ($\langle f,f \rangle \geq 0$))

Answer 2

No puede ser un producto interno. tome una función $f$ que sea $1$ en $[0,1/2]$ y cero en otros lugares y suavícela sobre un pequeño intervalo alrededor de $x = 1/2$. la norma de la función es cero pero la función no lo es.