Concepto de movimiento de los puntos representativos en el espacio de fase

Question

La derivación del teorema de Liouville (por ejemplo este) hace uso del concepto de "movimiento" de los puntos en el espacio de fases.

Sea un sistema de $N$ partículas, con $q=\{q_i\}_{i=1}^{3N}$ las coordenadas generalizadas y $p=\{p_i\}_{i=1}^{3N}$ los momentos generalizados de las $N$ partículas. Si $(q,p)$ es un punto del espacio de fases (también llamado punto representativo), se define un vector de velocidad $\vec{v} = (\dot{q}, \dot{p})$ para $(q,p)$. Esta velocidad, a medida que pasa el tiempo, dará la dirección de la trayectoria de ese punto en el espacio de fases.

Esta idea del movimiento de puntos representativos es algo que me confunde, ya que en el espacio tridimensional, por ejemplo, los puntos $(x,y,z)$ del espacio no se mueven en ninguna parte (el punto $(-3,9,1)$ permanecerá ubicado en $(-3,9,1)$ in saecula saeculorum). En cualquier caso, lo que se moverá es el vector de posición $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)$.

¿Cómo debemos entender la idea de que, con el tiempo, los puntos representativos se mueven, entrando y saliendo de un volumen de espacio de fases $\omega$?

Answer 1

La mejor manera de comprender la idea es tomar un ejemplo simple y luego generalizarlo para demostrar el resultado general. Aquí intentaré dar la idea del punto de representación como dijiste:

Esta idea del movimiento de puntos representativos es algo que me confunde.

El ejemplo más simple que todos conocen es el péndulo simple, pero estoy involucrando cierto amortiguamiento en él. La respuesta tendrá más sentido si ves el siguiente video.

Ahora considera un conjunto de péndulos con diferentes posiciones y momentos iniciales. Cuando activas el movimiento, los péndulos empezarán a moverse y el sistema evolucionará en el tiempo bajo una ecuación Hamiltoniana dada. La siguiente es una imagen representativa de ello:

Imagen con Créditos: 3B1B

Ahora, por un momento, olvídate de todos ellos, solo observa uno de ellos, por ejemplo considera $\theta=30^o$ y $p_\theta= 2$ en unidades adecuadas. Ahora dibuja un punto con estas coordenadas. Deja que el sistema evolucione en el tiempo y dibuja un punto a medida que se mueven (esto se puede hacer usando la Hamiltoniana del sistema). Ahora haz lo mismo para cada estado, recuerda que cada estado está representado por un punto en el espacio fase. Lo que obtienes es un retrato fase de un sistema que en este caso se ve así:

Imagen con Créditos: 3B1B

Cada punto en este espacio corresponde a algún estado del sistema, eso es lo que significa la representación.

Ahora, lo que dice el teorema de Liouville (de manera ingenua) es que si supones que estos estados son elementos fluidos que se están moviendo (o fluyendo) en el espacio fase, entonces el volumen del elemento fluido se conserva a medida que el sistema evoluciona, lo cual es básicamente la incompresibilidad del fluido.

Imagen con Créditos: 3B1B