Estoy tratando de evaluar $$ \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{e^{pt}}{\sqrt{p+1}}\,dp. $$ Comencé construyendo un corte de rama a lo largo de $p=-1$ hasta $p=-\infty$ y establecí \begin{align*} \oint_C\tilde{f}(p)\,dp = \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{e^{pt}}{\sqrt{p+1}}\,dp\ &+\ iR\int_{\pi/2}^\pi \frac{e^{tRe^{i\phi}}}{\sqrt{Re^{i\phi}+1}}\,e^{i\phi}d\phi\ +\ \int_{-\infty}^{-1}\frac{e^{pt}}{e^{i\pi/2}\sqrt{p+1}}\,dp\\ &+i\epsilon \int_{\pi}^{-\pi}\frac{e^{t\epsilon e^{i\theta }}}{\sqrt{\epsilon e^{i\theta}+1}}e^{i\theta}\,d\theta\ +\ \int_{-1}^{-\infty}\frac{e^{pt}}{e^{-i\pi/2}\sqrt{p+1}}\,dp. \end{align*} Por el teorema de Cauchy, la integral en la LHS es $0$. Las integrales sobre los arcos se anulan y encontramos $$ 0= 2\pi i I+2i\int_{-1}^{-\infty}\frac{e^{pt}}{\sqrt{p+1}}\,dp. $$ Al final obtuve algo con un número imaginario, lo cual es obvio basándonos en los límites de integración. Entonces, ¿Qué fue lo que salió mal aquí? Creo que lo que hice mal fue integrar de $-\infty$ a $-1$, pero no estoy seguro del todo de por qué es incorrecto. El contorno de Bromwich cierra en el semiplano izquierdo, ¿cómo podría entonces integrar desde $-1$ hasta $\infty$? Cualquier ayuda sería muy apreciada. ¡Gracias!
Respuesta
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Tenga en cuenta que $\sqrt{p+1}$ es puramente imaginario cuando $p\in (-\infty, -1)$. Por lo tanto, en la parte superior del corte de rama, $\sqrt{p+1}=i\sqrt{|p+1|}$ mientras que en la parte inferior del corte de rama $\sqrt{p+1}=-i\sqrt{|p+1|}$. Entonces, tenemos
$$\begin{align} 0&=\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{e^{pt}}{\sqrt{p+1}}\,dp+\int_{-\infty}^{-1}\frac{e^{pt}}{i\sqrt{|p+1|}}\,dp-\int_{-\infty}^{-1}\frac{e^{pt}}{-i\sqrt{|p+1|}}\,dp\\\\ &=\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{e^{pt}}{\sqrt{p+1}}\,dp-2i\int_1^\infty \frac{e^{-pt}}{\sqrt{p-1}}\,dp\tag1 \end{align}$$
Ahora, podemos evaluar fácilmente la segunda integral en el lado derecho de $(1)$ aplicando la sustitución $p\mapsto 1+p^2$. Procediendo encontramos que
$$\int_1^\infty \frac{e^{-pt}}{\sqrt{p-1}}\,dp=2\int_0^\infty e^{-tp^2}\,dp=\frac{2\sqrt \pi e^{-t}}{\sqrt t}$$
Y ahora puedes terminar.
