¿Distribución de la Wishart inversa a una potencia?

Question

En una pregunta relacionada, había preguntado sobre la norma inducida por una matriz Wishart inversa. Estoy interesado en generalizar ese resultado en cierta medida. Sea $A\sim\mathcal{W}_p\left(I,n\right)$, una matriz Wishart con matriz de escala $I$, la identidad, y $n$ grados de libertad. Sea $l$ algún vector de $p$ dimensiones fijo. Consideremos $$h = \frac{l^{\top}l}{l^{\top} \left(A^{-1}\right)^{m} l},$$ donde $m$ es algún entero. Cuando $m=1$, $h$ está evidentemente distribuido como una variable aleatoria Chi-cuadrado (con $n-p+1$ grados de libertad, creo).

¿Existen resultados conocidos sobre la distribución de $h$ cuando $m=2$? ¿Otros valores?

Answer 1

La distribución de los valores propios es conocida, https://dornsife.usc.edu/assets/sites/406/docs/505b/505project_Narae_Lee.pdf, la cual se puede transformar en la distribución de la potencia inversa de los valores propios.

El vector aleatorio con componentes $|l^T \mathbf{v}_i|/\|l\|$, donde $\mathbf{v}_i$, $i=1,\ldots,p$ son los eigenvectores de $\mathbf{A}$, está distribuido uniformemente en la superficie de la hipersfera de $p$ dimensiones en el ortante positivo.

Debes ser capaz de calcular la distribución combinando los dos resultados.