Problemas al calcular la pendiente

Question

Estoy tratando de calcular el gradiente de una cierta expresión. No estoy seguro si es posible. Tengo lo siguiente

$f(\alpha_1,\alpha_2,\Lambda) = \log(|2Q_1+2Q_2 +2Q_3|)$

$Q_1$ es una matriz diagonal con los términos en la diagonal iguales a $\alpha_1$

$Q_2$ es una matriz diagonal con los términos en la diagonal iguales a $\alpha_2$

$Q_3$ es una matriz con una serie de parámetros.

Ahora cómo puedo calcular el gradiente de la función $f$ con respecto a $\alpha_1$, $\alpha_2$ y los parámetros, digamos $\Lambda_{ii}$. ¿Es posible obtener algo

Answer 1

Bueno, si estás interesado en encontrar el gradiente con respecto a los parámetros ($\alpha_1, \alpha_2, \Lambda_{ii}$) por separado (sin concatenarlos en un vector y buscar la derivada con respecto a un vector) puedes usar algunas identidades de cálculo matricial (pero primero puedes sacar el factor de $2$ del logaritmo):

$$\frac{\partial \ln|\mathbf{U}|}{\partial x} ={\rm tr}\left(\mathbf{U}^{-1}\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x}\right)$$ Aquí $x$ es $\alpha_1, \alpha_2$ o $\Lambda_{ii}$ y la matriz $U$ es $\mathbf{Q_1+Q_2+Q_3}$.
Entonces $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial f(\alpha_1,\alpha_2,\Lambda)}{\partial \alpha_1}={\rm tr}\left((\mathbf{Q_1+Q_2+Q_3})^{-1}\frac{\partial \mathbf{\mathbf{Q_1}}}{\partial \alpha_1}\right)\\ \frac{\partial f(\alpha_1,\alpha_2,\Lambda)}{\partial \alpha_2}={\rm tr}\left((\mathbf{Q_1+Q_2+Q_3})^{-1}\frac{\partial \mathbf{\mathbf{Q_2}}}{\partial \alpha_2}\right) \\ \frac{\partial f(\alpha_1,\alpha_2,\Lambda)}{\partial \Lambda_{ii}}={\rm tr}\left((\mathbf{Q_1+Q_2+Q_3})^{-1}\frac{\partial \mathbf{\mathbf{Q_3}}}{\partial \Lambda_{ii}}\right) \end{eqnarray} $$