¿Cuántos arreglos diferentes de triángulos que son algunos rojos o azules alrededor de un heptágono regular son posibles?

Question

Tengo el siguiente problema

Tengo un heptágono amarillo (polígono regular de $7$ lados)

Contra cada lado hay un triángulo.

El triángulo es rojo o azul.

¿Cuántos arreglos diferentes de triángulos alrededor del heptágono son posibles?

Los arreglos que son variantes rotacionales no cuentan, los arreglos que son variantes especulares pueden contar

entonces yendo en sentido horario y habiendo contado rojo-rojo-rojo-azul-rojo-azul-azul como arreglo

entonces rojo-rojo-azul-rojo-azul-azul-rojo es el mismo arreglo y no cuenta (es el mismo arreglo rotado un poco)

rojo-rojo-azul-azul-rojo-azul-rojo no es el mismo arreglo (pero es un espejo)

Relacionado

¿y cuántos cuando también descartamos los arreglos especulares?

Answer 1

Dado que $7$ es primo, no hay períodos que no sean $1$ y $7$. Hay $2$ arreglos con período $1$, así que los $2^7-2$ arreglos restantes tienen período $7$. Por lo tanto, hay

$$ 2+\frac{2^7-2}7=20 $$

arreglos inequivalentes por rotación.

Las órbitas bajo el grupo completo de simetría que incluye reflexiones se pueden contar usando el lema de Burnside. La identidad deja invariantes $2^7$ arreglos, cada una de las $6$ rotaciones deja invariantes $2$ arreglos y cada una de las $7$ reflexiones deja invariantes $2^4$ arreglos, así que hay

$$ \frac{2^7+6\cdot2+7\cdot2^4}{14}=18 $$

arreglos inequivalentes.