Prueba o refuta que siempre existe una secuencia que satisface una relación con una constante real $k$.

Question

Pregunta:

Demuestra o refuta para un número real $k$ que siempre existe una secuencia $x_n$ donde $\lim_{n\to \infty}x_n=k$ y $$\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}-k}{x_n-k}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}$$ Aquí estoy interesado en una demostración. Esto no tendrá un contraejemplo ya que todas las secuencias posibles deben considerarse.

Indícame si puedo hacer algo para mejorar la pregunta.

Posdata:
Esta pregunta es simplemente un trabajo de curiosidad e está inspirada en una pregunta publicada en este sitio web. No es un duplicado y es ligeramente diferente a la original.
De todos modos, aquí está el enlace

Answer 1

Puedes considerar la secuencia $$ x_n = k+\frac 1n $$ Claramente tenemos que $\lim_{n\to\infty} x_n=k$ y $$ \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-k}{x_n -k} = \lim_{n\to\infty} \frac n{n+1} = 1 = \lim_{n\to\infty}\frac{k+\frac 1{n+1}}{k+\frac 1{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} . $$