Imagina un vagón de tren con una lámpara en el extremo izquierdo y un espejo en el extremo derecho, de modo que se pueda enviar una señal de luz hacia adelante y hacia atrás. El vagón se está moviendo hacia la derecha con una velocidad v. Encuentran la longitud del vagón con respecto al propio vagón y luego con respecto a un observador en el suelo utilizando la dilatación del tiempo. Utilizan el tiempo de ida y vuelta, lo cual está bien y tiene sentido. Sin embargo, ¿qué pasaría si no se utiliza el tiempo de ida y vuelta? ¿Y si solo se mide la distancia y el tiempo que tarda la luz en llegar al extremo del vagón y ya está? Para un observador en el vagón, sería $t'=d'/c$. Para un observador en el suelo, sería la distancia que mide que tiene el vagón más cuánto ha progresado el vagón en el tiempo t. Entonces para él sería $t=(d+vt)/c$. Ahora, si se utiliza el hecho de que la contracción de Lorentz dice que d' y d deberían estar relacionados por $d'=\gamma d$, y se inserta d en el tiempo que tarda la luz en alcanzar el extremo según el observador y se relaciona $t$ con $t'$, no se obtiene la relación de dilatación del tiempo. En realidad, se obtiene $t=t'\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$. Esto es un problema porque $t$ y $t'$ deberían estar relacionados por gamma, no por este otro factor. Pensaba que el tiempo que tarda la luz en llegar al extremo en el marco del vagón debería estar relacionado por gamma con el tiempo que tarda en alcanzar el extremo en el marco del suelo. ¿Puedes explicar por favor por qué no es así?
Respuestas
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Dile a tu amigo Harry que está en el extremo izquierdo del vagón de carga.
Harry dice "Cuando la luz golpeó el lado derecho del vagón de carga, yo simplemente me estaba rascando la nariz. En ese momento, exactamente había transcurrido $t'$ minutos".
Tú (estando en la plataforma) vas a decir que pasaron $t_1$ minutos hasta que Harry se rascó la nariz y $t_2$ minutos hasta que la luz golpeó el extremo derecho del vagón de carga. Pero $t_1$ no será igual a $t_2. Eso es porque, a diferencia de Harry, no crees que el rascarse la nariz fuera simultáneo al momento en que la luz golpeó el extremo derecho del vagón de carga.
El factor $\gamma$ no está diseñado para medir $t'/t_2$. Está diseñado para medir $t'/t_1$. Creo que eso es lo que te está confundiendo.
Si observas lo suficiente el diagrama espacio-temporal, siempre verás claramente cosas como esta:
El eje vertical es tu línea de mundo; las líneas azules son las líneas de mundo de los lados izquierdo y derecho del vagón de carga; las líneas rojas son líneas de simultaneidad para los habitantes del vagón de carga. (Estas líneas rojas se supone que están igualmente espaciadas; lamento si mi arte no es perfecto en este punto). Las líneas doradas son la trayectoria del rayo de luz.
Las distancias a lo largo de los ejes se miden considerando la velocidad de la luz como $1$.
El punto verde es donde Harry se rasca la nariz. Si dibujaras una línea horizontal desde aquí hasta el eje vertical, llegarías al punto $t_1$. El punto amarillo es donde el rayo de luz alcanza el extremo lejano del vagón de carga. He dibujado una línea horizontal desde aquí hasta el eje vertical que llega al punto $t_2$. Puedes ver que $d'/d=t'/t_1$, como debería ser. Esa es la razón que llamas $\gamma$.
Pero $t'/t_2$ no puede ser igual a $\gamma$ (como has notado), lo cual está bien porque no se supone que sea así.
(PD: Espero que las etiquetas sean claras. He marcado distancias en lugar de puntos, por lo que $t_2$ a la izquierda, por ejemplo, es la distancia desde el origen hasta el punto negro encima de él, por lo que ese punto negro está en el punto $t_2$.)
Este problema es cómo derivaste el factor gamma y la idea errónea del factor en sí mismo, como ya has mencionado. Puedes derivar el factor gamma geométricamente a través del análisis tensorial de una rotación invariante. Te ahorraré el trabajo sangriento y te diré cuál es el resultado. (Es principalmente trigonometría)
Para la relación $ \tau = \gamma t $ donde $ \tau $ es el tiempo propio en el marco de un observador estacionario con respecto al objeto en movimiento (en tu caso el tren), y $ t $ es el tiempo en el marco del objeto en movimiento. Gamma aquí está definido como $$ \gamma = \frac{1} {(1-(\frac{v}{c})^{2})^{1/2}} $$ donde $ v $ es la velocidad del auto.
Tu título menciona la dilatación del tiempo, así que te lo he dado en términos de tiempo. La relatividad general también mostrará que el espacio se ve afectado de la misma manera (como en la longitud del vagón que has mencionado en tu ejemplo). La longitud medida por tu observador externo que usa las velas para calcular la longitud del auto será $ x^{'} = \gamma x $ donde x prima y x son intercambiables con $ \tau $ y $ t $ respectivamente.
Para la derivación geométrica te dirijo aquí: http://www.unitytheory.info/lorentz_gamma_factor_basics.html.
En eso, introducen $ \beta = \frac{v}{c} $.
