¿$2n^2\mid (a^n-1)$ siempre se cumple?

Question

Determina todos los enteros positivos $n$ tales que, para cualquier entero positivo $a$, siempre que $\gcd(a, n)=1$, se cumple la siguiente condición: $$2n^2\mid (a^n-1).$$

Para ser honesto, el progreso que he logrado en el problema es digno de mención (algo parecido al teorema de Euler o el teorema de Fermat). Es difícil.

Por favor ayuda.

Answer 1

Resultados parciales . . .

Sea $S$ el conjunto de enteros positivos $n$ tales que $$a^n\equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2)$$ para todos los enteros $a$, para los cuales $\gcd(a,n)=1$.

Si $n=1$, tenemos $2n^2=2$. Entonces, usando $a=2$, obtenemos $a^n =2^1 = 2$, por lo que $a^n\not\equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2)$.

Por lo tanto, $1 \notin S$.

Para un entero dado $n > 1$, para verificar si $n\in S$, es suficiente verificar la congruencia $$a^n\equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2)$$ para todos los enteros $a$, con $1 < a < n$, para los cuales $\gcd(a,n)=1$.

Aplicando la prueba anterior, encontramos que cada uno de los enteros $2,6,42,1806$ es un elemento de $S$.

Es concebible que $S$ tenga infinitos elementos, pero no estoy seguro.

Lo que puedo demostrar es lo siguiente:

• Si $n\in S$, entonces $n$ es par, pero no múltiplo de $4$.

Prueba:

Sea $n\in S$.

Supongamos que $n$ es impar.

Entonces dejando $a=2$, tenemos $\gcd(a,n)=1$, por lo tanto \begin{align*} &a^n \equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2)\\[4pt] \implies\;&2^n \equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2)\\[4pt] \implies\;&2^n-1 \equiv 0\;(\text{mod}\;2n^2)\\[4pt] \implies\;&2^n-1 \equiv 0\;(\text{mod}\;2)\\[4pt] \implies\;&2^n-1\;\text{es par}\\[4pt] &\text{contradicción}\\[4pt] \end{align*} Por lo tanto, $n$ debe ser par.

A continuación, supongamos que $n$ es múltiplo de $4$.

Dado que $n$ es par, tenemos $n^k \equiv 0\;(\text{mod}\;2n^2)$, para todos los enteros $k \ge 3$.

Sea $a=n+1$.$\;$Entonces $\gcd(a,n)=1$, por lo tanto \begin{align*} &a^n\equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2)\\[4pt] \implies\;&(n+1)^n \equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2)\\[4pt] \implies\;&\left(\sum_{k=0}^{n-3}\binom{n}{k}n^{n-k}\right) + \left({\small{\frac{n(n-1)}{2}}}\right)n^2 + (n)(n) + 1 \equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2) \\[4pt] \implies\;& \left({\small{\frac{n(n-1)}{2}}}\right)n^2 + (n)(n) + 1 \equiv 1\;(\text{mod}\;2n^2) \\[4pt] \implies\;& \left({\small{\frac{n(n-1)}{2}}}\right)n^2 + n^2 \equiv 0\;(\text{mod}\;2n^2) \\[4pt] \implies\;&n^2\equiv 0\;(\text{mod}\;2n^2)\qquad\text{[since ${\small{\frac{n(n-1)}{2}}}\;$is even]}\\[4pt] \implies\;&2n^2{\,\mid\,}n^2\\[4pt] &\text{contradicción} \end{align*>

Por lo tanto, $n$ es par, pero no múltiplo de $4$, como se afirmó.

Actualización:

Revisando oeis para la secuencia $2,6,42,1806$, encontramos

$\qquad$https://oeis.org/A014117

que describe un conjunto cuya definición es similar, pero no exactamente igual, a la de $S$.

Si, de hecho, se puede demostrar que el conjunto de oeis es el mismo que el conjunto $S$, entonces se seguiría que los enteros $2,6,42,1806$ son los únicos elementos de $S$, pero no veo una prueba inmediata de esa afirmación.