Si $I$ es cualquier conjunto de índices, definimos $E^I=\{(x_i)_{i\in I}:x_i\in E\,\,\forall i\in I\}$, siendo $E$ cualquier conjunto. Subconjuntos de $E^I$ de la forma $C_J=\{x_i\in B_i\,\,\forall i\in J\}$, donde $B_i\in\mathcal{A}\,\,\forall i\in J$, $\mathcal{A}$ es una $\sigma$-álgebra en $E$ y $J\subseteq I$ es finito, se llaman "conjuntos cilíndricos" y forman una base de la $\sigma$-álgebra producto $\mathcal{A}^{\otimes I}$. ¿Por qué se llaman estos conjuntos "conjuntos cilíndricos"? ¿Cuál es el origen de este nombre?
Respuesta
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¿Cuál es el origen de este nombre?
Esta es mi suposición (básicamente lo que me dijeron en una de mis conferencias y lo que Kurt G. escribió en los comentarios):
Si $|J|=1$, es decir, $J=\{i\}$ para algún $i\in I$, entonces los conjuntos cilíndricos son simplemente las preimágenes de subconjuntos medibles de $E$ con respecto a la proyección $$\pi_i:E^I\to E.$$Ahora, ¿por qué las preimágenes de una proyección se llaman conjuntos cilíndricos? Por supuesto, esto está motivado por un ejemplo muy específico:
Sea $E^3$ un espacio euclidiano de dimensión $3$ y $E^2$ un subespacio de dimensión $2$. Ahora podemos considerar la proyección obvia $E^3\to E^2$ (es decir, $x\in E^3$ se mapea a la intersección de $E^2$ y la línea a través de $x$ perpendicular a $E^2$) y en este caso debería estar claro por qué las preimágenes se denominan cilindros: al menos las preimágenes de círculos en $E^2$ son cilindros (infinitos) en el sentido habitual.
En caso de que te quejes de que $E^3$ no es un espacio producto: selecciona un subespacio de dimensión 1 $E^1$ ortogonal a $E^2$ y considera la biyección obvia $E^1\times E^2\to E^3$.
