Usando el teorema de Cauchy para calcular $\int_{\gamma} z\overline{z}$

Question

Calcular $\int_{\gamma} z\overline{z}$ donde $\gamma=\{z||z|=1\}$.

Pensé que podía aplicar el Teorema de Cauchy y concluir que la integral es cero ya que $\gamma$ es la bola unitaria, por lo tanto una curva cerrada y conectada.

Pero todavía queda por demostrar la condición de que $z\overline{z}$ sea holomorfa o analítica. No sé si puedo utilizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann o la definición de derivada:

$\lim_{z\to z_0}\frac{z\overline{z}-z_0\overline{z_0}}{z-z_0}=\lim_{z\to z_0}\frac{|z|^2-|z_0|^2}{z-z_0}$

Pero no veo cómo seguir.

Preguntas:

¿Cómo debería terminar el cálculo?

¿Es lo mismo utilizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann o la definición de derivada para determinar si una función es holomorfa o analítica?

¡Gracias anticipadas!

Answer 1

CONSEJO: $z\bar z = |z|^2 = 1$ en el círculo $|z|=1$. ¿Cuál es la integral de $1$ sobre un círculo?

Puedes usar la definición de derivada para averiguar si una función es holomorfa. Además, una función holomorfa debe cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sin embargo, las ecuaciones de C-R no son suficientes para concluir que una función es holomorfa. Sin embargo, si las ecuaciones de C-R se cumplen y la parte real e imaginaria de la función también son diferenciables, entonces se puede decir que la función es holomorfa.

La función $z\bar z =|z|^2$ no es holomorfa dentro de $|z|=1$ (o en cualquier otro lugar) porque no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.