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El conjunto de Locales es un subconjunto del conjunto de Topos.

Dado un conjunto ordenado $(Z, \leq)$, podemos considerar la categoría $C_Z$ con $Ob(C)=Z$ y para cada $r,e\in Z$, $\hom_{C_Z}(r,e)$ es un singleton si $r\leq e$ y es $\emptyset$ si $\neg(r\leq e)$. La idea es que los conjuntos ordenados son un tipo especial de categorías (con no más de un morfismo entre cualquier par de objetos).

Un conjunto ordenado se llama un marco si admite uniones arbitrarias y encuentros binarios y los encuentros binarios se distribuyen sobre las uniones. Un morfismo entre marcos es una función monótona que preserva uniones arbitrarias y encuentros binarios. Un tópos de Grothendieck es una categoría que satisface los llamados axiomas de Giraud, que son muy similares a los axiomas de un marco (límites binarios; colímites pequeños arbitrarios, que son estables bajo pullbacks).

  1. ¿Es $Z\mapsto C_Z$ un functor plenamente fiel de la categoría de marcos a la categoría de topos de Grothendieck (con morfismos geométricos)?

  2. En caso afirmativo, ¿por qué es más común incrustar marcos en topos de Grothendieck a través de $Z\mapsto Sh(Z)=$ topos de haces en $Z$? ¿Está esta incrustación de alguna manera relacionada con el funtor $Z\mapsto C_Z$?

  3. ¿Implica que la categoría de marcos es equivalente a la categoría de topos de Grothendieck de la forma $C_Z$ para algún conjunto ordenado?

  4. ¿Por qué se requiere que los marcos sean conjuntos ordenados, es decir, tales que $\leq$ sea antisimétrico: si $r\leq e\leq r$, entonces $r=e$ y no simplemente conjuntos preordenados? Porque para los topos de Grothendieck no requerimos que los objetos isomorfos sean iguales (que es el análogo categórico).

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user2318170 Puntos 160

No, para un marco $Z$, la categoría $C_Z$ nunca es un topos de Grothendieck (a menos que tenga solo un objeto).

En términos de los axiomas de Giraud, $C_Z$ falla el axioma de que los coproductos deberían ser disjuntos. En un marco, $1+1=1$, mientras que en un topos, $1+1=1$ implica $0=1$, lo cual implica que el topos es trivial.

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