Una desigualdad cardinal para finitud

Question

Hace casi diez años, expliqué en una entrada de blog que, asumiendo solo ZF, un número cardinal $\mathfrak{n}$ es finito si y solo si satisface esta monstruosa desigualdad: $$2^{2^{2^{2^{\mathfrak{n}}}}} \lt \left(2^{2^{2^{2^{\mathfrak{n}}}}}\right)^2 = 4^{2^{2^{2^{\mathfrak{n}}}}}$$ Donde "finito" se entiende en el sentido más estricto de Tarski: en biyección con un ordinal finito.

Mi pregunta es un poco vaga ya que "simple" tiene muchas interpretaciones pero aquí está:

¿Existe una desigualdad cardinal más simple que sea equivalente a la finitud y que solo utilice la exponenciación cardinal?

Answer 1

Läuchli demostró en 1961 que $\mathfrak{n}$ es finito si y solo si $2^{2^{\mathfrak{n}}}2^{2^{\mathfrak{n}}}\cdot2$. Como consecuencia, $\mathfrak{n}$ es finito si y solo si $2^{2^{2^{\mathfrak{n}}}}(2^{2^{2^{\mathfrak{n}}}})^2$. Todavía está abierto (preguntado por Läuchli) si $\mathfrak{n}$ es finito si y solo si $2^{2^{\mathfrak{n}}}(2^{2^{\mathfrak{n}}})^2$.

Läuchli, H., Ein Beitrag zur Kardinalzahlarithmetik ohne Auswahlaxiom, Z. Math. Logik Grundlagen Math. 7, 141-145 (1961). ZBL0114.01005.

Para una traducción al inglés del artículo de Läuchli, vea aquí.