Residuos cuadráticos consecutivos de primos que difieren en 2

Question

Muestra que si $p$ es un número primo y $p \ge 7$, entonces siempre hay dos residuos cuadráticos consecutivos de $p$ que difieren en 2.

Creo que se supone que debo usar el hecho de que al menos uno de $2, 5$ y $10$ siempre es un residuo cuadrático, sin embargo, no estoy seguro de cómo relacionarlo exactamente con la pregunta.

Answer 1

Mostraremos que para cualquier primo $p\ge 7$ existen dos residuos cuadráticos positivos consecutivos de $p$ que difieren en $2$. El resultado es fácil de verificar para el primo $7$. Así que suponemos que $p\gt 7$.

Por brevedad escribimos RC para residuo cuadrático de $p$, y NR para no residuo cuadrático de $p.

Sea $q$ el menor NR positivo de $p$. Notamos que $q$ es primo. Si $q$ es impar, entonces $q-1$ y $q+1$ son RC consecutivos que difieren en $2$, ya que todos sus factores primos son $\lt q$.

Así que hemos terminado a menos que $2$ sea un NR. Supongamos que $2$ es un NR. Si $3$ es un RC, hemos terminado. Por lo tanto, podemos asumir que $3$ es un NR.

Entonces $6$ es un RC, y por lo tanto hemos terminado a menos que $5$ sea un RC. Si $7$ es un RC, hemos terminado, ya que $8$ es NR y $9$ es RC.

Así que hemos resuelto nuestro problema a menos que $2$ sea NR, $3$ sea NR, $5$ sea RC, y $7$ sea NR.

Pero en ese caso $14$ es RC, $15$ es NR, y $16$ es RC. El resultado sigue.

Answer 2

Dado que $p$ es primo y $p \geq 7$, 1 y 4 deben ser residuos cuadráticos de $p$, porque $(\frac{2^2}{p}) = (\frac{1}{p})= 1$, donde $()$ es el símbolo de Legendre.

Supongamos que para todo $p \geq 7$, no tiene dos residuos cuadráticos consecutivos $a$ y $b$ tales que $|a - b| = 2$. A partir de la conclusión anterior, sabemos que 2, 3 y 6 no pueden ser residuos cuadráticos de $p$, ya que $4 - 2 = 2, \space 6 - 4 = 2$ y $3 - 1 = 2$, es decir, $(\frac{2}{p}) = (\frac{3}{p}) = (\frac{6}{p}) = -1$. Aparentemente pronto obtendremos una contradicción: $(\frac{6}{p}) = (\frac{2}{p}) \cdot (\frac{3}{p}) = 1$, pero $(\frac{6}{p})$ no puede ser 1 y -1 simultáneamente.

Q.E.D.