Mi pregunta es:
$10^8! > 10^{10^9}$ ?
Sé que el factorial es mayor que el exponencial, pero no estoy seguro en este caso específico.
Gracias,
Mi pregunta es:
$10^8! > 10^{10^9}$ ?
Sé que el factorial es mayor que el exponencial, pero no estoy seguro en este caso específico.
Gracias,
Por la aproximación de Stirling,
$$\begin{align*} 10^8!&\approx\sqrt{2\cdot10^8\pi}\left(\frac{10^8}e\right)^{10^8}\\ &<10^5\cdot\left(10^8\right)^{10^8}\\ &<\left(10^8\right)^{10^8+1}\\ &=10^{8\cdot10^8+8}\\ &<10^{10^9}\;. \end{align*}$$
Alternativamente,
$$\begin{align*} \ln 10^8!&=\sum_{k=1}^{10^8}\ln k\\ &<\int_1^{10^8}\ln x\,dx\\ &=\left[x\ln x-x\right]_1^{10^8}\\ &=8\cdot10^8\ln 10-10^8+1\\ &<10^9\ln 10\\ &=\ln 10^{10^9}\;, \end{align*}$$
y $f(x)=\ln x$ es estrictamente creciente, por lo tanto $10^8!<10^{10^9}$.
Si usamos la aproximación de Stirling, $10^8! \approx (10^8)^{(10^8)}e^{-10^8}=10^{8\cdot10^8}e^{-10^8}\lt 10^{10^9}$ por un factor de aproximadamente $(100e)^{10^8}$ Para números de este tamaño, $\sqrt {2\pi10^8}$ es insignificante.
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