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¿Es $10^{8}!$ mayor que $10^{10^9}$?

Mi pregunta es:

$10^8! > 10^{10^9}$ ?

Sé que el factorial es mayor que el exponencial, pero no estoy seguro en este caso específico.

Gracias,

26voto

Matt Puntos 21

Si expandimos $10^8!$, tenemos el producto de $10^8$ números positivos, todos los cuales son menores o iguales a $10^8$. Así que $10^8!<(10^8)^{10^8}=10^{8\cdot 10^8}<10^{10^9}$.

5voto

DiGi Puntos 1925

Por la aproximación de Stirling,

$$\begin{align*} 10^8!&\approx\sqrt{2\cdot10^8\pi}\left(\frac{10^8}e\right)^{10^8}\\ &<10^5\cdot\left(10^8\right)^{10^8}\\ &<\left(10^8\right)^{10^8+1}\\ &=10^{8\cdot10^8+8}\\ &<10^{10^9}\;. \end{align*}$$

Alternativamente,

$$\begin{align*} \ln 10^8!&=\sum_{k=1}^{10^8}\ln k\\ &<\int_1^{10^8}\ln x\,dx\\ &=\left[x\ln x-x\right]_1^{10^8}\\ &=8\cdot10^8\ln 10-10^8+1\\ &<10^9\ln 10\\ &=\ln 10^{10^9}\;, \end{align*}$$

y $f(x)=\ln x$ es estrictamente creciente, por lo tanto $10^8!<10^{10^9}$.

5voto

Mike Puntos 9379

$10^8!=\prod \limits_{n=1}^{10^8}n<\prod \limits_{n=1}^{10^8}10^8=(10^8)^{10^8}=10^{8\times10^8}<10^{10\times10^8}=(10)^{10^9}$

4voto

Shabaz Puntos 403

Si usamos la aproximación de Stirling, $10^8! \approx (10^8)^{(10^8)}e^{-10^8}=10^{8\cdot10^8}e^{-10^8}\lt 10^{10^9}$ por un factor de aproximadamente $(100e)^{10^8}$ Para números de este tamaño, $\sqrt {2\pi10^8}$ es insignificante.

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