Sea $S=\{s_1, s_2, s_3 \}$, si $s_1$ puede ser representado como una combinación lineal de $s_2$ y $s_3$, $s_2$ puede ser representado como una combinación lineal de $s_1$ y $s_3$ pero $s_3$ no puede ser representado como una combinación lineal de $s_1$ o $s_2$ o $s_1$ y $s_2$, ¿podemos llamar a $S$ un conjunto linealmente dependiente?
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Godot
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Sí, los elementos de $S$ son linealmente dependientes. Ser linealmente dependiente significa que existen escalares $a, b, c$, no todos iguales a cero tal que $$ as_1 + bs_2 + cs_3 = 0. $$ Esto es cierto para tus elementos porque sabemos que $$ s_1 = ms_2 + ns_3 $$ para algunos escalares $m, n$ y podemos reorganizar esta ecuación para obtener $a = 1$, $b = -m$, $c = -n$. (El hecho de que no podamos expresar $s_3$ como una combinación lineal de $s_1$ y $s_2$ implica que $n$ va a tener que ser $0$, pero esto no es relevante para la definición de independencia lineal.)
Hagen von Eitzen
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¡Advertencia! Al adherirse estrictamente a la notación, hay un caso especial donde tu $S=\{s_1, s_2, s_3\}$ con las condiciones dadas es linealmente independiente, específicamente si $s_1=s_2$ y $s_1, s_3$ son linealmente independientes. Esto ocurre cuando se utilizan conjuntos en lugar de familias para hablar sobre dependencia lineal y bases, etc.
Concreto: En el espacio vectorial $\mathbb R^2$ déjese que $s_1 = s_2 = (1, 0)$ y $s_3 = (0, 1)$. Entonces $s_1 = 1\cdot s_2+0\cdot s_3$ y $s_2 = 1\cdot s_1+0\cdot s_3$, mientras que $s_3$ no puede ser expresado como una combinación lineal de $s_1$ y $s_2$. El conjunto $S=\{s_1, s_2, s_3\}$ tiene una cardinalidad de dos y es linealmente independiente.
