Supongamos que $E/K$ es una curva elíptica sobre un campo $\mathbb Q\subset K \subset \overline{\mathbb Q}$ tal que $E(K)$ es finito. Sea $[L:K]$ una extensión abeliana finita. ¿Es necesariamente el caso que $E(L)$ también es finito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como tu pregunta ya fue respondida en los comentarios, solo agregaré un par de cosas.
En primer lugar, ¿cómo podrías encontrar un ejemplo si nadie más conocía uno ya? ¡Puedes usar LMFDB para hacerlo! No es el método más rápido, pero fui a http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/2.2.5.1/?field=2.2.5.1&include_base_change=only para encontrar curvas elípticas sobre $\mathbf Q(\sqrt 5)$ que son cambios de base desde $\mathbf Q$, hice clic en algunas hasta encontrar algunas de rango 1, como http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/2.2.5.1/729.1/b/3 luego me desplacé hacia la parte inferior de la página y descubrí que esta curva en particular es un cambio de base de http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/27/a/4 que tiene rango 0. Me tomó un par de minutos hacer clic para encontrar esta. Así que tenemos otro ejemplo simple de una curva $/\mathbf Q$ con un número finito de puntos racionales que crece a un grupo de rango 1 bajo una pequeña extensión cuadrática.
En cuanto a las generalidades, es una pregunta muy interesante sobre qué extensiones abelianas pueden hacer crecer el rango en general, y es natural reducirse a extensiones cíclicas de grado $p$ un número primo, ya que las demás se pueden construir a partir de estas. En este caso, hay varias conjeturas flotando sobre cómo puede crecer el rango, y una conjetura es que para $p > 5$ solo hay un número finito de extensiones cíclicas $L/K$ de grado $p$ para las cuales $E/K$ puede tener $\operatorname{rank} E(L) > \operatorname{rank} E(K)$.
Para más sobre esto, podrías disfrutar la charla de Barry Mazur http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/heuristics.Toronto.12.pdf ver el video en http://www.fields.utoronto.ca/video-archive/2016/11/1570-16199 o https://www.youtube.com/watch?v=BmnPn7mssvk
