Una categoría $\mathcal{C}$ se llama $\textbf{discreta}$ si los únicos morfismos son morfismos identidad.
Considera la siguiente noción más débil: una categoría $\mathcal{C}$ se llama $\textbf{totalmente desconectada}$ si $\text{Hom}_\mathcal{C}(C,D)=\varnothing$ para todos $C\neq D$.
El principio de Vopenka ($\textbf{VP}$) establece que una subcategoría grande completa $\mathcal{D}$ de una categoría localmente presentable $\mathcal{C}$ no puede ser discreta. Quiero considerar una afirmación análoga:
($\textbf{VP2}$) Una subcategoría grande completa $\mathcal{D}$ de una categoría localmente presentable $\mathcal{C}$ no puede ser totalmente desconectada.
Dado que las categorías discretas son totalmente desconectadas, $\textbf{VP2}$ implica $\textbf{VP}$. Por lo tanto, $\textbf{VP2}$ no puede demostrarse en $\textbf{ZFC}$, porque $\textbf{VP}$ no puede. Ahora me gustaría saber:
(1) ¿Hay algún contraejemplo para $\textbf{VP2}$ en $\textbf{ZFC}$? Hasta donde sé, no se ha encontrado ningún contraejemplo para $\textbf{VP}$, pero dado que $\textbf{VP2}$ es en principio una afirmación más fuerte, ¿quizás podamos construir uno aquí?
(2) Si no, ¿cuál es la relación entre $\textbf{VP}$ y $\textbf{VP2}$ dentro de $\textbf{ZFC}$? ¿Son equivalentes? ¿O al menos la consistencia de $\textbf{VP}$ implica la de $\textbf{VP2}$?
(Elegí $\textbf{ZFC}$ como mi teoría de conjuntos preferida, pero si hay algún problema en usar una teoría tan débil, siéntete libre de considerar alguna otra).
¡Gracias!
