Sea $M$ un espacio métrico, y $S=\{d(x,y):x,y\in M\}$ el conjunto de todas las distancias entre puntos en $M$. Llamemos a $M$ un espacio de distancia única si para todo $x\in M$ y todo $r\in S$, existe un único $y\in M$ con $d(x,y)=r$. Por ejemplo, los vértices de un cubo genérico en $\mathbb{R}^n$ serán un espacio de distancia única con $|S|=2^n$. Por otro lado, $\mathbb{R}$ con la métrica usual no es un espacio de distancia única, porque dado $x\in \mathbb{R}$ y $r>0$, hay dos puntos a distancia $r$ de $x$.
Pregunta principal: ¿Existe un espacio de distancia única con $S=\mathbb{R}_{\geq 0}$?
Un intento
Sea $M$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_2$ con base $B$, y sea $f:B\to\mathbb{R}_{>0}$. Si para $x,y\in M$ definimos $d(x,y)$ como la suma de $f(b)$ sobre todos los $b\in B$ donde el coeficiente de $b$ en $x$ e $y$ son diferentes, entonces $d$ es una métrica en $M$. Si elegimos $f$ de manera que los valores de $\sum_{b\in T}f(b)$ sean distintos para todos los subconjuntos finitos $T\subseteq B$, entonces $M$ es un espacio de distancia única.
Algunos ejemplos de esta construcción:
- Si $M$ es de dimensión finita, entonces $M$ puede ser incrustado isométricamente como un cubo en $\mathbb{R}^n$ bajo la métrica $L^1$ ("Manhattan").
- Si $B=\{e_n:n\in\mathbb{Z}\}$ y $f(e_n):=2^{n}$, entonces podemos mapear $M$ biyectivamente sobre los racionales diádicos no negativos $\mathbb{Z}[\frac12]_{\geq 0}$ por $e_n\mapsto 2^n$, y $d$ corresponderá al operador XOR a nivel de bits. El hecho de que $M$ sea un espacio de distancia única se puede ver directamente al notar que $r=x\text{ XOR }y$ si y solo si $y=x\text{ XOR }r$.
Para usar esta técnica para resolver el problema original, necesitaríamos que la siguiente pregunta tuviera una respuesta positiva:
Pregunta 2: ¿Existe un conjunto $A\subseteq\mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que todo número real positivo se pueda expresar de manera única como suma de finitos elementos distintos de $A$?
Si existiera dicho conjunto $A$, podríamos usarlo como base para $M$ con $f(a)=a$, dando así una respuesta afirmativa a la Pregunta principal. A primera vista, esto parece ser un argumento de inducción transfinita directo (ordenar bien $\mathbb{R}_{>0}$, luego incluir sucesivamente en $A$ cualquier valor que aún no haya ocurrido como suma finita), pero el problema es que $x$ no puede ser incluido en $A$ si es igual a una diferencia de dos sumas finitas previamente ocurridas. Si esto sucede, necesitaremos incluir otros elementos en $A$ que sumen $x$ (mientras nos preocupamos simultáneamente por el hecho de que cada uno de esos elementos quizás no esté permitido en $A$, etc). No veo una manera directa de manejar esto.
¿Otras construcciones?
Podríamos tomar la completación del espacio métrico del ejemplo de los racionales diádicos mencionado anteriormente. Esto se acerca mucho a funcionar, excepto por el hecho de que las expansiones binarias de los números reales no son únicas. Específicamente, si $x,r\in \mathbb{R}_{\geq 0}-\mathbb{Z}[\frac12]$, entonces hay un punto único de distancia $r$ de $x$ (y viceversa si $x$ o $r$ es cero). Pero si $x$ y $r$ son números reales positivos y al menos uno de ellos está en $\mathbb{Z}[\frac12]$, entonces hay dos puntos de distancia $r$ de $x$.
Pregunta 3: ¿Existen otros métodos generales para construir espacios de distancia única además de los mencionados anteriormente?
Si bien estaría feliz de escuchar cualquier pensamiento sobre esta pregunta más abierta, no aceptaré tal respuesta como oficial a menos que pase un tiempo significativo sin respuestas a la Pregunta principal.
Incluso para espacios métricos finitos, este parece ser un problema combinatorio bastante sutil. Cualquier espacio de distancia única finito $M$ con $|M|>1$ debe tener un número par de elementos $|M|$ (dado un $r\in S$ distinto de cero, el conjunto de pares $\{x,y\}$ con $d(x,y)=r$ particiona $M$), pero ¿puede ocurrir cada número par como cardinalidad de un espacio de distancia única? La construcción del cubo muestra que potencias de $2$ son posibles, y trabajé un ejemplo con $|M|=6$ a mano, pero no conozco otras formas de generar ejemplos.
