Recientemente he estado aprendiendo algunos hechos básicos sobre las álgebras $C^*$ y sus conexiones con las representaciones de grupos localmente compactos $G$, y actualmente estoy tratando de entender la definición del $C^*$-álgebra de un grupo, que se obtiene a partir del álgebra $L^1(G)$ por completación.
Pregunta: ¿Por qué necesitamos completar $L^1(G)$ para formar el $C^*$-álgebra de $G$?
Es fácil ver que el único axioma de un $C^*$-álgebra que posiblemente pueda fallar es la identidad crucial $\|T^*T\| = \|T\|^2$, por lo que en cierto sentido, mi pregunta está preguntando por qué este axioma falla. Jugando con ejemplos simples es fácil ver que el axioma falla para $G=\mathbb Z$ (¿Por qué no es $\ell^1(\mathbb{Z})$ un $C^{*}$-álgebra?).
Más generalmente, Dixmier tiene un argumento que parece funcionar para cualquier $G$ abeliano, aunque no lo entiendo. Él considera la acción izquierda regular $\lambda$ de $G$ en $L^2(G)$. Es fácil ver que $\|\lambda(f)\|=\|\hat f\|_\infty$, donde $\hat f$ es la transformada de Fourier de $f$. Dado que $\|f\|_\infty\neq\|f\|_1$ en general, esto significa que $\lambda$ no es isométrica. Todo esto lo entiendo. Pero luego Dixmier concluye que $L^1(G)$ no es un $C^*$-álgebra, y aquí es donde me pierdo.
¿Puede alguien aclarar el argumento de Dixmier? (¿Es cierto que los morfismos de $C^*$-álgebras son isometrías, a pesar de que esto no es requerido como parte de la definición de un morfismo?) O más generalmente, ¿alguien tiene una buena explicación "moral" de por qué $L^1(G)$ no es un $C^*$-álgebra y tenemos que pasar a su álgebra envolvente $C^*$?
