Mostrando la relación para $n\,\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{n-1}$

Question

Me gustaría mostrar: $$n\,\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n-1}f(x) = \left(\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n}\,x-x\,\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n}\right)f(x)$$

No tengo idea de dónde viene este teorema, pero solo tengo que demostrar que es cierto.

Intenté inducción pero no tuve éxito

$\textsf{paso 1: para $n = 1$ la ecuación es correcta}$

$\textsf{paso 2: configurando $n \to n+1:$}$ $$\begin{align}(n+1)\,\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n}f(x) &= \left(\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n+1}\,x-x\,\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n+1}\right)f(x)\\[12pt] &= \left(\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n}\,1\,f(x)+x\,\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n+1}\,f(x)-x\,\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)^{\textstyle n+1}f(x)\right)\end{align}$$

pero de alguna manera los lados no son iguales. ¿Alguna derivación?

Answer 1

Es importante tener cuidado de no conmutar el operador diferencial con $x$. Aquí hay una forma de demostrar la afirmación. Abreviemos $f'(x) \triangleq \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$. Entonces, $$\begin{align*} \left( \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n+1} x - x \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n+1} \right) f(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^n (f(x)+xf'(x)) - x\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n+1}f(x) \\ &= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n-1}f'(x) + \left( \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^nxf'(x) -x\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^n f'(x) \right) \\ &\overset{(*)}{=} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n-1}f'(x) + n \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n-1}f'(x) \\ &= (n+1) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n}f(x), \end{align*}$$ donde $(*)$ es por hipótesis de inducción.