¿Cuál es la forma más fácil de probar la convergencia de
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x+\log(x)} \ dx$$
Es posible utilizar sólo la escuela secundaria de herramientas para que?
Respuestas
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Julián Aguirre
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En $x=0$ la integral es adecuada, ya que $$ \lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x+\log x}=0. $$ Para el estudio de la integral en $x=\infty$ el uso de la integración por partes. Si $R>1$ $$ \int_1^R\frac{\sin x}{x+\log x}\,dx=-\cos x\frac{1}{x+\log x}\Bigr|_1^R+\int_1^R\cos x\frac{1-1/x}{(x+\log x)^2}\,dx. $$ El primer término converge como $R\to\infty$, y la integral es absolutamente convergente porque el integrando es delimitada por $1/x^2$.
Ciertamente, esta no es la escuela secundaria cosas en España.
En términos estrictos, la integral diverge desde cerca de $x=\mathrm{W}(1)$ donde $x+\log(x)=0$, tenemos $$ \frac{\sin(x)}{x+\log(x)}\sim\frac{\mathrm{W}(1)\sin(\mathrm{W}(1))}{\mathrm{W}(1)+1}\frac1{x-\mathrm{W}(1)}\tag{1} $$ Sin embargo, podemos obtener un valor de uso el Valor Principal de Cauchy. De hecho, utilizando el contorno de la integración, se han $$ \begin{align} &\mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x+\log(x)}\mathrm{d}x\\ &=\mathrm{Im}\left(\mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{e^{ix}}{x+\log(x)}\mathrm{d}x\right)\\ &=\mathrm{Im}\left(\pi i\frac{\mathrm{W}(1)e^{i\mathrm{W}(1)}}{\mathrm{W}(1)+1}\right)+\mathrm{Im}\left(\int_0^\infty\frac{e^{-x}}{ix+\log(x)+i\frac\pi2}i\,\mathrm{d}x\right)\\ &=\pi\frac{\mathrm{W}(1)\cos(\mathrm{W}(1))}{\mathrm{W}(1)+1}+\int_0^\infty\frac{\log(x)}{\left(x+\frac\pi2\right)^2+\log(x)^2}e^{-x}\,\mathrm{d}x\\ &\doteq0.8626229904173762889\tag{2} \end{align} $$ Hemos utilizado el siguiente perfil:
$\hspace{4.5cm}$
No hay singularidades en el interior del contorno de modo que la integral sobre el contorno es $0$. La integral sobre el arco de puntos se desvanece a medida que el arco se hace más grande. Está delimitada por $$ \begin{align} \int_0^{\pi/2}\frac{e^{-R\sin(t)}}{R-\log(R)}R\,\mathrm{d}t &\le\frac{R}{R-\log(R)}\int_0^{\pi/2}e^{-2Rt/\pi}\mathrm{d}t\\ &\le\frac{\pi/2}{R-\log(R)}\tag{3} \end{align} $$ La red de caminos representan el principal valor de la integral y los senderos verdes invertido representa la integral de los residuos y en la siguiente a la última línea de $(2)$.
