Prueba de "Posible nueva serie para $\pi$" sin uso de física

Question

_{<strong>Publicación relacionada:</strong> La publicación <a href="https://mathoverflow.net/questions/473931/possible-new-series-for-pi">Nueva serie posible para $\pi$</a> trata sobre si la identidad es nueva, así que para evitar confusiones me aconsejaron hacer esta pregunta por separado.}

Estoy buscando una prueba de la siguiente identidad que no requiera conocimientos de física: $$\pi = 4 + \sum_{n\ge1}\frac1{n!}\left(\frac1{n+\lambda}-\frac4{2n+1}\right)\left(\frac{(2n+1)^2}{4(n+\lambda)}-n\right)_{n-1}\tag1\label{474141_1}$$ para cualquier $\operatorname{Re}\lambda>-1$ donde $(x)_n= x(x+1)\cdots(x+n-1)$ es el símbolo de Pochhammer.

La prueba actual se basa en varios conceptos de teoría cuántica de campos. Hasta ahora, solo el caso $\lambda=1/2$ está resuelto, ya que el término dentro del Pochhammer siendo independiente de $n$ hace que los cálculos sean más directos.

Puede ser útil saber que \eqref{474141_1} puede reescribirse en términos de coeficientes binomiales fraccionarios: $$\pi=4-4\sum_{n\ge1}(-1)^n\left(\frac{2n}{4n^2-4\lambda+1}-\frac1{2n+1}\right)\binom{-\frac{4(1-\lambda)n+1}{4n+4\lambda}}n.\tag2\label{474141_2}$$

Answer 1

Encontré una demostración elemental usando fracciones parciales. Esto está motivado por la observación de Nemo de que series muy similares aparecen en el trabajo de Schlosser (Sección 7). La inversión de matriz utilizada por Schlosser está estrechamente relacionada con las fracciones parciales, ver por ejemplo este artículo.

Fijemos $\lambda$ y sean $t_1$ y $t_2$ variables que satisfacen $$t_1+t_2-\frac{t_1t_2}{\lambda}=1-\frac{1}{4\lambda}. $$ Por hechos elementales sobre expansiones en fracciones parciales, podemos escribir $$ \label{pf}\frac{(t_1+t_2+1)_n}{(t_1)_{n+1}(t_2)_{n+1}}=\sum_{k=0}^n A_k\left(\frac{1}{t_1+k}+\frac 1{t_2+k}-\frac 1{\lambda+k}\right), \tag 1 $$ donde $$ A_k= \frac{(t_1+k)(t_1+t_2+1)_n}{(t_1)_{n+1}(t_2)_{n+1}}\Bigg|_{t_1=-k}. $$ El último término en \eqref{pf} hace que cada término se anule en el límite $t_1\rightarrow\infty$, $t_2\rightarrow \lambda$ (y viceversa). Escribiendo $$ a_k=t_1+t_2\Big|_{t_1=-k}=1-\frac{(2k+1)^2}{4(\lambda+k)}, $$ esto se puede simplificar a $$ A_k=\frac{(a_k+1)_{k-1}(-1)^k}{k!(n-k)!(a_k+n+1)_{k}}. $$ Especializando $t_1=t_2=1/2$ en \eqref{pf} obtenemos $$\frac{(2)_n}{(1/2)_{n+1}^2}=\sum_{k=0}^n \frac{(a_k+1)_{k-1}(-1)^k}{k!(n-k)!(a_k+n+1)_{k}}\left(\frac{4}{2k+1}-\frac 1{\lambda+k}\right). $$ Ahora multiplicamos ambos lados por $n!$ y dejamos que $n\rightarrow\infty$. El lado izquierdo se puede escribir $$\frac{\Gamma(n+2)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+3/2)^2}\cdot\frac{\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(2)}\rightarrow \frac{\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(2)}=\pi.$$ En el lado derecho, tenemos el factor $$\frac{n!}{(n-k)!(a_k+n+1)_{k}}=(-1)^{k}\frac{(-n)_{k}}{(a_k+n+1)_{k}}\rightarrow 1. $$ Esto nos da (no debería ser difícil justificar tomar el límite) \begin{align*}\pi&=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\left(\frac{4}{2k+1}-\frac 1{\lambda+k}\right)\left(2-\frac{(2k+1)^2}{4(\lambda+k)}\right)_{k-1}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(\frac 1{\lambda+k}-\frac{4}{2k+1}\right)\left(\frac{(2k+1)^2}{4(\lambda+k)}-k\right)_{k-1} , \end{align*} que es la identidad deseada.

Más generalmente, se podrían tomar variables que satisfagan $$t_1+t_2-\frac{t_1t_2}{\lambda}=x+y-\frac{xy}{\lambda}, $$ tomar la expansión en fracciones parciales de $$\frac{(t_1+t_2-p)_n}{(t_1)_{n+1}(t_2)_{n+1}}, $$ especializar $t_1=x$, $t_2=y$ y finalmente dejar que $n\rightarrow\infty$. Comprobé que esto da la ecuación (4) en el artículo de Sana y Sinha (donde $x=\alpha-s_1$, $y=\alpha-s_2$). Presumiblemente otras identidades en su artículo siguen por variaciones adicionales del mismo argumento.