Encontrar la suma de una serie, no entiendo cómo pasan de un paso al siguiente

Question

¿Alguien puede por favor explicar cómo llegan del paso marcado en rojo al marcado en azul?

Answer 1

En primer lugar, debería ser obvio que factorizaron el $3$ fuera de todo el asunto.

En segundo lugar, notaremos que el resto se da como:

$$(\frac12-\frac14)+(\frac13-\frac15)+(\frac14-\frac16)+\dots(\frac1{k}-\frac1{k+2})$$

Reescribiéndolo sin paréntesis,

$$\frac12-\frac14+\frac13-\frac15+\frac14-\frac16+\frac15-\frac17+\dots\frac1k-\frac1{k+2}$$

Ahora, si miras de cerca, notarás lo que he resaltado.

$$\frac12\color{red}{-\frac14}+\frac13\color{blue}{-\frac15}\color{red}{+\frac14}\color{green}{-\frac16}\color{blue}{+\frac15}\color{orange}{-\frac17}+\dots\frac1k-\frac1{k+2}$$

Cada término que he resaltado corresponde a otro término del mismo color. Si te fijas, estos dos términos se cancelan entre sí.

Después de que ocurran todas las cancelaciones, los únicos términos restantes son

$$\frac11+\frac13-\frac1{k+1}-\frac1{k+2}$$

Este tipo de suma se llama una serie telescópica.

Answer 2

$$\frac12-\frac14$$

$$\frac13-\frac15$$

$$\frac14-\frac16$$

$$\frac15-\frac17$$

$$・$$

$$・$$

$$・$$

$$\frac1{k-3}-\frac1{k-1}$$

$$\frac1{k-2}-\frac1{k}$$

$$\frac1{k-1}-\frac1{k+1}$$

$$\frac1k-\frac1{k+2}$$

$\frac14, \frac15, \frac1{k-1}, \frac1k$ son eliminados. Espero que esto ayude.