Preguntas sobre el potencial de un campo vectorial conservativo

Question

Recientemente comencé a aprender cálculo multivariable y me encontré con algunas preguntas sobre campos vectoriales conservativos y es un poco confuso.

Si tomara la derivada de mi función potencial (como en $\nabla f(x,y,z)$), me dará un campo vectorial. Pero si integro mi campo vectorial, ¿me dará también la función potencial, o me dará una función completamente diferente? Si me encuentro con un problema en el que tengo que encontrar la función potencial de un campo vectorial conservativo, ¿debería abordar el problema como un problema de condición de valor inicial pero con múltiples variables independientes?

En primer lugar, no puedo imaginar el problema gráficamente. ¿Qué significa que un campo vectorial sea conservativo? No entiendo por qué mi profesor dijo que tiene que ser un camino cerrado para encontrar el potencial. ¿Cuál es el significado de este símbolo $\oint$? ¿Cómo se relaciona esto con otras aplicaciones del mundo real? Realmente no entiendo mucho de esto en absoluto.

Nota: No tengo una buena formación en física, así que no ayuda mucho decir "conoce tu física" como otros me han dicho. Y acabo de comenzar a aprender integrales de línea, así que realmente me encantaría tener una visión que me permita ver el problema más fácilmente.

Answer 1

Suponga que su campo vectorial es de fuerza. Esto facilitará los cálculos. Cualquier otro tipo de cosa difiere solo en un factor constante.

La cantidad de trabajo realizado en un objeto por el campo se define como $$\int \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}$$ donde la integral se toma sobre el camino que sigue el objeto. Lo importante es darse cuenta de que esto es independiente de la rapidez con la que se mueve el objeto a lo largo de este camino.

Supongamos que existiera un camino cerrado $P$ tal que esta integral no fuera $0$. Luego, al rodear este bucle una y otra vez, o bien podrías lograr que se hiciera un trabajo arbitrariamente grande en el objeto (en cuyo caso obtendrías energía infinita), o bien un trabajo negativo arbitrariamente grande en ti. Al ir en la dirección contraria, podrías lograr el primer caso.

Por lo tanto, para todos los campos de fuerza "naturales", toda integral alrededor de un camino cerrado de la forma anterior debería ser $0$. Se dice que un campo vectorial así es conservativo. En un campo vectorial conservativo, existe un "campo potencial" asociado (bueno, técnicamente un número infinito de ellos, cada uno diferenciado por una constante), encontrado eligiendo algún lugar arbitrario $J$ como $0$ potencial, y estableciendo el potencial en un punto particular $A$ como $$-\int \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}$$ donde la integral se toma a lo largo de cualquier camino de $J$ a $A$. Debido a que el campo es conservativo, dicha definición es consistente.

Ahora, si denotamos el campo potencial como $U$, obtenemos la identidad muy bonita

$$W = \int \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = U(A) - U(B)$$

donde la integral se toma a lo largo de cualquier camino de $A$ a $B.