Me gustaría encontrar el número más alto de la forma $a + b\sqrt{2}$ menor que un valor dado, donde $a$ y $b$ son enteros no negativos. Por ejemplo, si el valor fuera $8.4$, entonces simplemente probando todas las combinaciones posibles menores que $8.4$ se obtendría $a = 4$ y $ b = 3$, ya que $4+3\sqrt{2} = 8.243$, y ningún otro valor de $a$ y $b$ produce un valor más cercano a $8.4$, pero aún menor que $8.4$.
Respuesta
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Dado que $a$ es un número entero, solo necesitamos encontrar un entero $b$ tal que la parte fraccionaria de $b\sqrt{2}$ esté más cerca de la parte fraccionaria de $8.4$. Ahora es fácil ver que obtenemos $b=3$, ya que tenemos la restricción adicional de que $b<8$. En general, la parte fraccionaria de $n\sqrt{2}$ está densa en $[0,1]$, para $n\in \Bbb N$.
