La respuesta es sí. Cada función en los números reales es la suma de dos funciones inyectivas, y esto se puede hacer de manera altamente efectiva, construyendo las dos funciones $g,h$ a partir de $f$ sin necesidad del axioma de elección ni la recurrencia transfinita.
Teorema. (ZF)
- Cada función en los números reales es la suma de dos funciones inyectivas: para cada $f:\newcommand\R{\mathbb{R}}\R\to\R$ existen funciones inyectivas $g,h:\R\to\R$ con $f=g+h$.
- Además, esto es posible con funciones $g$ y $h$ que son aritméticamente definibles a partir de $f$, y de hecho, los dígitos de $g(x)$ y $h(x)$ son computables de manera uniforme a partir de oráculos que especifican los dígitos de $x$ y $f(x)$.
- En particular, cada función Borel $f$ es la suma de dos funciones Borel inyectivas $g$ y $h$.
La prueba se basará en el siguiente lema clave.
Lema clave. Existe una función de emparejamiento en los números reales $x,y\mapsto\langle x,y\rangle$ tal que $y-\langle x,y\rangle$ también es una función de emparejamiento. Es decir, para los reales $x,y$ podemos definir un número real $\langle x,y\rangle$ de manera que:
- A partir del valor de $\langle x,y\rangle$ podemos recuperar de manera uniforme tanto $x$ como $y$.
- A partir del valor de la diferencia $y-\langle x,y\rangle$ podemos recuperar de manera uniforme tanto $x$ como $y$.
Prueba. Dados $x$ y $y$, sea $z$ una secuencia binaria que codifica tanto $x$ como $y$ de manera sensata y concreta. Vamos a especificar primero los dígitos pares de $\langle x,y\rangle$ con $0$s y $1$s de tal manera que enumeramos $z$ en esos dígitos, de modo que el dígito $k$-ésimo de $z$ sea igual al dígito $2k$-ésimo de $\langle x,y\rangle$. Esto asegurará que $\langle x,y\rangle$ es una función de emparejamiento, independientemente de cómo definamos los dígitos impares. Luego, especificamos los dígitos impares de $\langle x,y\rangle$ de tal manera que el patrón de paridad de los dígitos impares de la diferencia $y-\langle x,y\rangle$ sea nuevamente el patrón binario de $z$. Por lo tanto, a partir del valor de $y-\langle x,y\rangle$ podemos recuperar $z$ y por lo tanto tanto $x$ como $y$. $\Box$
Prueba del teorema. Ahora vamos a demostrar el teorema. Cabe destacar que la función de emparejamiento $\langle x,y\rangle$ en el lema clave es computable en el sentido relevante a partir de oráculos para $x$ y $y$. Sea $$g(x)=\langle x,f(x)\rangle\qquad$$ y $$h(x)=f(x)-\langle x,f(x)\rangle.$$ La función $g$ es inyectiva, ya que a partir de $\langle x,f(x)\rangle$ podemos recuperar $x$. La función $h$ es inyectiva, ya que el lema clave asegura que a partir de $f(x)-\langle x,f(x)\rangle$ podemos recuperar $x$. Y claramente $f=g+h$, por lo que hemos logrado tener $f$ como la suma de dos funciones inyectivas.
La prueba es efectiva, ya que las funciones $g$ y $h$ son computables a partir de $f$. $\Box$
Si estuviéramos trabajando en el espacio de Baire $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ en lugar de en $\R$, es decir, con secuencias infinitas de números naturales $x:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ en lugar de números reales, sería un contexto ligeramente más natural, ya que trabajar dígito por dígito es más natural en el espacio de Baire. En particular, en ese contexto las funciones $g$ y $h$ que surgen en la prueba serían continuas, si $f$ lo es, ya que para conocer los primeros $k$ valores de $g$ o $h$ bastaría con conocer los primeros $k$ valores de $x$ y $f(x)$. Sin embargo, en los números reales, este razonamiento no se transfiere del todo a $\R$, porque las representaciones no únicas causan ciertos problemas de límites, ya que entremezclar los dígitos no es un proceso continuo, ya que $1=0.999\bar 9$. Y así, mis funciones $g$ y $h$ no son continuas, incluso cuando $f$ lo es. Pero creo que sería posible solucionar esto de alguna manera para lograr el caso continuo como un caso especial del caso completamente general como lo he hecho. (Actualización: Will Sawin explica cómo la respuesta de Joonas Ilmavirta muestra que el caso continuo será imposible.)
Finalmente, observemos que una vez que sepamos que el caso de dos sumandos inyectivos es cierto, entonces fácilmente obtenemos tres sumandos inyectivos o cualquier número mediante un simple escalado. Por ejemplo, a partir de $f=g+h$ podemos escribir $f=g+\frac12 h+\frac12 h$ y así sucesivamente.
¿Lógica constructiva? Mi respuesta tiene una naturaleza computable, pero no estoy seguro de si la prueba puede ser completamente constructiva, es decir, en lógica constructiva. Agradecería respuestas de aquellos que pudieran decir algo al respecto. (Actualización: Will Sawin explica en su comentario a continuación por qué no deberíamos esperar una prueba constructiva.)
