Ecuación de onda no homogénea

Question

Sea $u(x,t)$ una función que satisface $$u_{xx}-u_{tt}=e^{x}+6t, \ x \in \mathbb{R},\ t>0$$ y las condiciones iniciales $$u(x,0)= sinx,\ \ u_{t}(x,0)=0, \ \forall \ x \in \mathbb{R}.$$ Entonces el valor de $u(\frac{}{2},\frac{}{2})$ es

1)$e^{\frac{}{2}}\big(1+\dfrac{e^\frac{{}}{2}}{2}\big)+\big(\dfrac{^{3}+4}{8}\big)$

2)$e^{\frac{}{2}}\big(1+\dfrac{e^\frac{{}}{2}}{2}\big)+\big(\dfrac{^{3}-4}{8}\big)$

3)$e^{\frac{}{2}}\big(1-\dfrac{e^\frac{{}}{2}}{2}\big)-\big(\dfrac{^{3}+4}{8}\big)$

4)$e^{\frac{}{2}}\big(1-\dfrac{e^\frac{{}}{2}}{2}\big)-\big(\dfrac{^{3}-4}{8}\big)$

La solución a la ecuación diferencial parcial homogénea $u_{xx}-u_{yy}=0$ está dada por la solución de d'Alembert a la ecuación de onda que es $$u(x,t)= \sin x \cos t.$$ Ahora la integral particular de la ecuación diferencial dada es

$\dfrac{1}{D^{2}-D'^{2}} e^{x}+6t$

\=$\big(\dfrac{1}{D^{2}-D'^{2}} e^{x}\big)+ \big(\dfrac{1}{D^{2}-D'^{2}}6t\big)$

\=$e^{x}+\dfrac{1}{-D'^{2}\big(1-\big(\frac{D}{D'}\big)^{2}\big)}6t$

\=$e^{x}-t^{3}$

Por lo tanto, $u(x,t)=\sin x \cos t+e^{x}-t^{3}$ lo cual no satisface ninguna de las opciones dadas. ¿Puede alguien ayudarme a ver dónde está mi error?

Answer 1

Transformación de Laplace

$$ U_{xx}(x,s)-s^2U(x,s)+\sin x = \frac 1s e^x+\frac{6}{s^2} $$

ahora resolviendo para $x$

$$ U(x,s) = c_1(s) e^{s x}+c_2(s) e^{-s x}+\frac{\left(s^2-1\right) s^4 \sin (x)-\left(s^2+1\right) \left(s^2 \left(s e^x+6\right)-6\right)}{s^4 \left(s^4-1\right)} $$

Ahora considerando $c_1(s)=c_2(s) = 0$ y antitransformando tenemos

$$ u(x,t) = \sin (t) \sin (x)-\cosh (t) \cosh (x)-\cosh (t) \sinh (x)+\sinh (x)+\cosh (x)-t^3 $$

por lo tanto

$$ u\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{8} \left(4+8 e^{\pi /2}-4 e^{\pi }-\pi ^3\right) $$