¿Es cada subgrupo conectado de un espacio euclidiano cerrado?

Question

La pregunta mencionada anteriormente (en el contexto de los números complejos, pero es una pregunta razonable de hacer en cualquier dimensión) fue hecha por un estudiante en mi clase de análisis complejo, y no tenía una respuesta inmediata. Los subgrupos cerrados del espacio euclidiano $({\mathbf R}^n, +)$ son por supuesto simplemente subgrupos de Lie (según el teorema de subgrupo cerrado de Cartan), y por lo tanto se dividen en la suma directa de un subespacio lineal y un grupo discreto por teoría estándar de álgebra de Lie, y los subgrupos cerrados conectados son entonces simplemente los subespacios lineales; pero si uno asume conectividad pero no cerrado inicialmente, no estoy seguro de cómo empezar ya que el grupo no es obviamente localmente compacto y la mayoría de las técnicas que conozco no están disponibles.

Tal vez el problema sea marginalmente más simple si uno mejora la conectividad a conectividad por trayectorias, pero de nuevo no veo cómo proceder (excepto en una dimensión, que es fácil).

También se podría plantear la pregunta en otros grupos de Lie que no sean espacios euclídeos, pero espero que el caso euclidiano contenga la mayor parte de la esencia de la dificultad.

Answer 1

Aquí hay un artículo con una breve prueba del teorema de Jones sobre la existencia de subgrupos propios conectados y densos de $\mathbb R^2$:

Maehara, Ryuji, Sobre un subgrupo propio y denso conectado de $\mathbb R^2$ cuyo complemento es conectado, Proc. Am. Math. Soc. 97, 556-558 (1986). ZBL0593.54037. (En acceso sin restricciones en el sitio de AMS)

Por otro lado, un subgrupo conexo de un grupo de Lie siempre es un subgrupo de Lie (no necesariamente cerrado):

Yamabe, Hidehiko, Sobre un subgrupo de Lie conexo por arcos, Osaka Math. J. 2, 13-14 (1950). ZBL0039.02101.

Por otro lado, todo subgrupo de Lie de $\mathbb R^n$ es cerrado (ya que la aplicación exponencial es un difeomorfismo); por lo tanto, todo subgrupo conexo por caminos en $\mathbb R^n$ es cerrado.

Answer 2

Una pequeña enmienda del resultado de Hidehiko mencionado en la respuesta de Moishe Kohan: el Teorema 2.2 en este artículo implica que todo subgrupo continuo-conexo de $\mathbb R^n$ es un subespacio lineal (cerrado) de $\mathbb R^n$.

Un espacio topológico $X$ se define como continuo-conexo si todos los puntos de $X$ están contenidos en un subconjunto compacto y conexo de $X$. Es claro que todo espacio topológico conectado por trayectorias es continuo-conexo (pero no al revés).

Por lo tanto, la respuesta al problema depende del tipo de conectividad: para la conectividad habitual la respuesta es negativa y para la continuidad-conexa es afirmativa.