¿Cómo se prueba esta desigualdad $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge 1.5$?

Question

Dados $a$, $b$ y $c$ son tres números reales positivos. ¿Cómo probar que la suma de $\frac{a}{b+c}$, $\frac{b}{c+a}$ y $\frac{c}{a+b}$ es mayor o igual a $1.5$?

Answer 1

Por Cauchy Schwarz tenemos $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}$$ si y solo si $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$ lo cual es verdadero.