Hay (al menos) dos nociones de ideales:
Un ideal en un anillo es un conjunto cerrado bajo la suma y la multiplicación por arbitrario.
Un ideal en una red es un conjunto cerrado en tomar elementos más pequeños y suprema.
Coinciden muy bien en álgebras Booleanas/anillos.
Hay un común generalización de ellos, o puede que uno de ellos se representa como un caso especial de la otra?
Yo creo que la noción de "ideal" para las rejillas se produjo más tarde que la noción de los anillos, y que originalmente surgió en álgebras booleanas por analogía. Más tarde se extendió a las rejillas, y finalmente a los conjuntos parcialmente ordenados.
Kummer introdujo por primera vez "los números ideales" en su estudio de la factorización en cyclotomic anillos, $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ donde $\zeta_p$ es una primitiva $p$th raíz de la unidad; algunos de estos anillos no disfrutar de factorización única, pero Kummer se utiliza la noción de número ideal (con el ideal de ser utilizado en el sentido de "existir en la imaginación o de la fantasía", y a lo largo de las líneas de un "imaginario encarnación de una calidad"). Estos fueron los "números" que en realidad no existen en los anillos, pero que permitía una especie de factorización única (cada elemento de a $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ podría escribirse de forma única como producto de la real e ideal números). Este fue 1844.
Dedekind, a continuación, tomó la noción de número ideal y lo reemplazó con el "ideal"; cada "número ideal" de Kummer, que se identifica con el conjunto de todos sus "múltiples", y esto se extiende a los múltiplos de los números reales. Lo que ahora llamamos "principales ideas" correspondía a los números reales, y nonprincipal ideales para los números ideales. Esto permitió una extensión de cyclotomic anillos arbitraria de los anillos de enteros en un número de campos. Dedekind dio varias exposiciones de los ideales, con el 1877 versión es, probablemente, el más pulido. Usted puede encontrar una muy buena traducción (con la ampliación de las observaciones introductorias por John Stillwell) en Teoría Algebraica de números Enteros por Richard Dedekind, Cambridge Biblioteca Matemática , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-56518-9.
Dedekind define un ideal del anillo de $R$ (siempre conmutativa) como un conjunto no vacío $I$ tal que
Estas nociones fueron posteriormente ampliada por Artin y Noether en la década de 1920 para más general de los anillos.
De acuerdo a Orrin Frink (en este 1954 papel en el American Mathematical Monthly), fue M. H. Stone quien investigó la noción de álgebras Booleanas (La teoría de representaciones de álgebras Booleanas por M. H. Stone, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 40 (1936), 37-111). Una rápida lectura de la ponencia (se encuentra en JSTOR) sugiere que esta fue la primera vez que fueron tratados como "resumen de los anillos".
Esto fue luego extendido a otros tipos de redes. De acuerdo a Frink, la definición de los ideales de celosías procede por analogía a la de ideales en anillos de:
Una colección de $J$ de los elementos de un entramado $L$ se llama un ideal si
- contiene todos los múltiplos $a\land x$ de alguno de sus elementos $a$; y
- contiene la suma de celosía $a\lor b$ de dos de sus elementos.
(ver $\land$ como la multiplicación y la $\lor$ como suma). El punto es que además de ser análoga, en el caso de boolean celosías el concepto de "ideal" como un anillo y el "ideal" como un entramado coinciden, como nota.
Frink, a continuación, se amplió la definición arbitraria de conjuntos parcialmente ordenados en el documento mencionado anteriormente. Él escribe:
El primer problema aquí es descubrir la definición apropiada. Existen tres propiedades que sería deseable tener, sin embargo, la definición se hace. (1) si $a$ es cualquier elemento de un conjunto parcialmente ordenado $P$, entonces el conjunto de todos los elementos $x$ $P$ tal que $x\geq a$ debe llegar a ser un ideal, a saber, el director ideal determinado por el elemento $a$. (2) La intersección de cualquier número de ideales debe ser un ideal, de modo que el conjunto de todos los ideales se forma un completo entramado relativa al subconjunto relación tomado como el fin de la relación. (3) En un conjunto parcialmente ordenado, que también es un entramado, establece que son ideales en el sentido de celosía teoría debe llegar a ser los ideales de acuerdo a la definición que se da por conjuntos parcialmente ordenados, y a la inversa.
Entonces él basa su definición en el concepto de normal ideal que fue estudiado por la Piedra, MacNeille, y Garrett Birkhoff: dado un subconjunto $A$, dejamos $A^*$ ser el conjunto de todos los límites superiores de $A$, e $A^+$ el conjunto de todas las cotas inferiores de a $A$. Una normal "ideal" fue un conjunto $A$ tal que $A=A^{*+} = (A^*)^+$. Frink define:
Definición. Un conjunto $J$ de los elementos de un conjunto parcialmente ordenado $P$ se llama un ideal de a $P$ si, siempre que $F$ es un subconjunto finito de $J$, la $F^{*+}$ también es un subconjunto de a $J$.
E. S. Wolk discutió la "fecundidad de esta definición" en un papel en las representaciones de conjuntos parcialmente ordenados. Aquí es en JSTOR.
Así que aquí podemos ver un proceso en el cual la extensión de la primera se produjo mediante la consideración de un tipo especial de anillo Booleano (anillos), entonces la ampliación de la noción de "por analogía" para celosías, y, finalmente, a parcialmente ordenado de conjuntos con miras a la ampliación de celosía de teoremas, en particular, la representación de teoremas.
Sin embargo, hay otro sentido en el cual ideales para celosías y los ideales de anillos son instancias de una clase particular de más de la construcción en general, como señaló Alex Youcis: la noción de congruencia de un álgebra (en el sentido de álgebra universal).
Deje $A$ ser un álgebra en el sentido de álgebra universal (un conjunto junto con una familia de finitary operaciones); los ejemplos incluyen semigroups (una sola operación binaria), monoids (una operación binaria y un zeroary operación), grupos (un binario, un unario, y un zeroary operación), anillos, celosías, $R$-álgebras, espacios vectoriales, y muchos otros. Digamos que tenemos una relación de equivalencia $\sim$$A$, y queremos definir un álgebra de estructura en $A/\sim$ "operativo de representantes". E. g., en grupos, queremos definir el producto de las clases de equivalencia $[a]$ $[b]$ $a,b\in A$ a ser la clase de equivalencia del producto. Más generalmente, si $f\colon A^n\to A$ $n$- ary operación $A$, lo que queremos es definir un inducido de operación $\overline{f}\colon (A/\sim)^n\to (A/\sim)$ por $$\overline{f}([a_1],\ldots,[a_n]) = [f(a_1,\ldots,a_n)].$$ ¿Bajo qué condiciones esta bien definida?
Teorema. La inducción de la operación en clases de equivalencia está bien definida si y sólo si $\sim$, cuando se ve como un subconjunto de a $A\times A$, es una subalgebra de $A\times A$ (donde el último tiene la coordinatewise álgebra de la estructura).
Esto conduce a:
Definición. Deje $A$ ser un álgebra (en el sentido de álgebra universal). Una congruencia en $A$ es una relación de equivalencia que es una subalgebra de $A\times A$.
En el caso de grupos, congruencias están en una correspondencia uno a uno con el normal subgrupos: dado un subgrupo normal $N$, podemos definir la equivalencia de la relación de $\sim$ $a\sim b$ si y sólo si $aN=bN$. A la inversa, dada una congruencia $\Phi\subseteq A\times A$, dejamos $N=\{a\in A\mid (a,e)\in \Phi\}$; por tanto, no es difícil mostrar que $A$ es normal y que $(a,b)\in \Phi$ si y sólo si $aN=bN$.
Del mismo modo, para los anillos, congruencias están en una correspondencia uno a uno con los ideales.
Esto no es para más general de las estructuras. Tenemos alguna conexión: dado un entramado $L$ y un ideal de a$J$$L$, podemos definir una relación $\Phi_J$ $L$ por $$ \Phi_J = \{ (a,b)\in L^2 \mid \exists c\in J (a\lor c = b\lor c)\}.$$
Esta es una relación de equivalencia en $L$. $(a,a)\in\Phi_J$ para todos los $a\in L$, ya que puede tomar cualquier $c\in J$ conseguir $a\lor c = a\lor c$. También es fácil comprobar que $(a,b)\in\Phi_J$ implica $(b,a)\in\Phi_J$. Y si $(a,b),(b,c)\in \Phi_J$, $x,y\in J$ tal que $a\lor x = b\lor x$$b\lor y = c\lor y$, luego $$a\lor(x\lor y) = (a\lor x)\lor y = (b\lor x)\lor y = c\lor y\lor x = c\lor(x\lor y)$$ y $x\lor y\in J$ porque $J$ es un ideal, por lo $(a,c)\in \Phi_J$.
Para $\lor$-semilattices, $\Phi_J$ es una congruencia en $L$: tenemos que comprobar que si $(a,b),(c,d)\in\Phi_J$,$(a,b)\lor(c,d) = (a\lor b,c\lor d)$$\Phi_J$. De hecho, si $a\lor x = b\lor x$$c\lor y=d\lor y$, luego $$(a\lor c)\lor(x\lor y) = (a\lor x)\lor(c\lor y) = (b\lor x)\lor(d\lor y) = (b\lor d)\lor(x\lor y),$$ y $x\lor y\in J$ porque $J$ es un ideal.
Si $L$ es un distributiva enrejado, a continuación, también conseguimos que $\Phi_J$ es cerrado bajo cumple, por lo que el $J$ determina la congruencia. De hecho,
La proposición. El entramado $L$ es distributivo si y sólo si para todo ideal de a$J$$L$, la relación $\Phi_J$ es una congruencia en $L$ $J$ es una clase de equivalencia de la partición correspondiente.
En un álgebra Booleana (y, más en general, como ha señalado Martin Sleziak, en un generalizado booleano celosía) cada congruencia es de la forma $\Phi_J$ por algún ideal $J$, pero en un arbitrario distributiva de celosía, no puede ser congruencias que no son inducidas por ideales.
(Por cierto, lo mismo sucede en semigroups, que también tienen una noción de "ideal"; véase, por ejemplo, la Wikipedia; cada ideal que induce una congruencia, pero no todos los congruencia es inducida por un ideal. La noción de "ideal" en semigroups es también por analogía con el "ideal" en los anillos, donde un ideal del anillo forma ideal de la multiplicativo semigroup del anillo).
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