Actualmente estoy trabajando en el siguiente problema:
Supongamos que $X_n$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de una distribución exponencial unitaria (por lo que $P(X_n \leq x) = 1 - e^{-x}$, para $x \geq 0$). Sea $M_n = \text{max}\{X_1, \ldots, X_n\}$.
Luego, la pregunta es encontrar una secuencia $u_n \rightarrow \infty$ tal que $P(M_n \geq u_n$, infinitas veces$) = 0$. Tengo el resultado de que si $u_n \rightarrow \infty$ es una secuencia monótonamente creciente, entonces $P(M_n \geq u_n$, infinitas veces$) = P(X_n \geq u_n$, infinitas veces$)$.
Estoy intentando resolver este problema utilizando el lema de Borel-Cantelli, específicamente el resultado de que si $\sum_n P(X_n \geq u_n$, infinitas veces$) < \infty$, entonces $P(X_n \geq u_n$, infinitas veces$) = 0$. Sin embargo, solo puedo calcular $P(X_n \leq x)$ (y por lo tanto también $P(X > x)$), por lo que al final solo puedo concluir que $P(X_n > u_n$, infinitas veces$) = 0$.
Mi pregunta es, ¿cómo puedo utilizar la información que me han dado para producir un resultado para $P(X_n \geq 0$, infinitas veces$)$? Sospecho que he pasado por alto algo sobre la forma en que se supone que debe usarse el lema.
