Dada la secuencia diverge encontrando valores de epsilon

Question

La secuencia $s_n = (1)^n$ no converge.

1. ¿Para qué valores de $\epsilon > 0$ es no obstante verdadero que hay un entero $N$ tal que $|s_n 1| < \epsilon$ siempre que $n \ge N$?

2. ¿Para qué valores de $\epsilon > 0$ es no obstante verdadero que hay un entero $N$ tal que $|s_n 0| < $ siempre que $n \ge N$?

Para la parte 1. He establecido la equivalencia de distancia: $$1-\epsilon < (-1)^n <1+\epsilon$$ entonces resolví para $n$ tomando el logaritmo de ambos lados. ¿Es esto correcto? Sé que B seguirá la misma forma, pero sé que no hicimos nada con logaritmos... ¿me puedes dar algo de ayuda por favor?

Answer 1

Estás pensando demasiado en ello. Recuerda que $n$ es un número entero. ¿Qué valores toma $(-1)^n$ para enteros $n$?

Answer 2

Esta pregunta parece estar confundiéndote un poco, pero está bien.

La cantidad $|s_n-1|$ oscila entre 0 y 2, ya que $s_n$ oscila entre $1$ y $-1$. Debido a esto, podemos decir que $\forall \varepsilon > 2, n \in \mathbb{N}$, $|s_n -1| \leqslant 2 < \varepsilon$.

De manera similar, $|s_n - 0|$ es un valor fijo - es 1. Para cualquier $\varepsilon > 1$, la misma lógica que arriba se mantiene.

Creo que el punto que se está haciendo aquí es la diferencia entre cuantificadores existenciales y universales. La definición de convergencia solo se cumple para algunos valores de $\varepsilon$, y no para todos, por lo tanto la secuencia no puede converger.