Encontrar la probabilidad de un error de Tipo II o la potencia, como se especifica

Question

Para la prueba de significancia dada, determine la probabilidad de un error Tipo II o la potencia, como se especifica.

Supongamos que deseamos probar $H_{0}: p = 0.5$ contra $H_{1}: p < 0.4$ usando $ = 0.05$. Si $p$ en realidad es igual a $0.4$, ¿cuál es la probabilidad de un error Tipo II asumiendo $n = 150$?

¿Cómo encuentro la probabilidad de un error Tipo II?

Solo he logrado encontrar el z-score como -2.45, y su valor p correspondiente como 0.0071. Gracias.

Answer 1

Para calcular la potencia de una hipótesis alternativa, primero se debe formular como una hipótesis simple: Por ejemplo, $H_1:p<40$ es una hipótesis compleja ya que se refiere a múltiples posibles valores de $p$. Una hipótesis simple sería algo así como $H_1:p=39.9$. El proceso de cálculo de la potencia (para hipótesis simples) es el siguiente:

1. Identificar la probabilidad discutida (preferiblemente normal o aproximada a normal)
2. Construir la Prueba de Razón de Verosimilitud
3. Extraer la estadística de prueba $T(x)$ de la PRV
4. Formular la forma de la prueba, algo como $\delta(x):T(x)>c$ o $\delta(x):T(x)
5. Resolver la ecuación $P_{H_0}(\delta(x))=\alpha$ para encontrar el valor crítico $c_\alpha$, que hará que la ecuación $P_{H_0}(T(x)\leq c_\alpha)=1-\alpha$ se cumpla (esto es solo un ejemplo para el caso de $\delta(x):T(x)>c$).
6. Encontrar la potencia resolviendo la ecuación $\pi=1-\beta=P_{H_1}(T(x)>c_\alpha)

Por favor note que $P_{H_0}$ se refiere a la distribución bajo la suposición nula mientras que $P_{H_1}$ se refiere a la distribución bajo la hipótesis alternativa especificada.