Determina dónde la función es continua

Question

Tengo problemas para entender cómo hacer la solución a este problema. ¿Podría alguien explicar este problema y cómo mostraría dónde son continuas?

Determinar dónde las siguientes funciones son continuas

\begin{align} f(x) & = \begin{cases} x, & x \text{ racional}\\ 0, & x \text{ irracional} \end{cases} \\[10pt] g(x) & = \begin{cases} x - \lfloor x \rfloor, & x \text{ racional}\\ 0, & x \text{ irracional} \end{cases} \end{align}

Answer 1

Sea $a$ un número irracional, entonces $f(a) = 0.

Considera la definición de continuidad mediante $\epsilon, \delta$. En términos prácticos, si la función $f$ es continua en $a$, entonces dado cualquier $\epsilon$ pequeño, existe un vecindario pequeño $(a-\delta,a+\delta)$ tal que todos los valores de $|f(x)|$ son menores que $\epsilon$ (ya que $|f(x) - f(a)| = |f(x)|).

Pero cualquier vecindario de $a$ contiene infinitos números racionales (donde los valores de $f$ varían de $a-\delta$ a $a + \delta). Entonces, si eliges un $\epsilon < a$, entonces no importa qué $\delta elijas, existe algún número racional $x \in (a-\delta,a+\delta)$ tal que $f(x) > a.

Básicamente, puedes usar el mismo tipo de argumento para examinar los puntos racionales; elige $b$ racional, elige $\epsilon < b$, y obtén la contradicción. Observa que hay un número racional para el cual este argumento no funcionará (¿por qué?). Ese será el único punto de continuidad.

Una vez que entiendas el primer ejemplo, el segundo es lo mismo con una pequeña variación.

Answer 2

Necesitas verificar la definición de continuidad en cada punto $y$: para todo $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ siempre que $|x-y|<\delta$. Alternativamente, muestra que para todas las secuencias $y_n\rightarrow y$, tienes $f(y_n)\rightarrow f(y).

Como pista para $f(x)$, elige un valor agradable de $y$, digamos $y=0.5$. ¿Es $f$ continua en $0.5$? Tienes que $|f(x)-f(y)|=|f(x)-0.5|=0.5$ siempre que $x$ es irracional. Observa que para cualquier $\delta>0$, siempre hay un irracional en el intervalo $(0.5-\delta,0.5+\delta)$. Entonces, si $\epsilon=0.4$, para cualquier delta siempre podrías encontrar un irracional $x$ que satisface $|x-0.5|<\delta$, lo que da $|f(x)-0.5|>\epsilon$, una contradicción. Por lo tanto, $f$ no es continua en $0.5$.

Sin embargo, algo interesante sucede para $x$ cerca de $0$...

Answer 3

Una función de una variable $ f (x) $ es continua en el punto $ x = p $ si, dado cualquier $ \epsilon> 0 $, existe un $ \delta> 0 $ (donde se permite que $\delta$ dependa de $\epsilon$) tal que para todo $ x $ en el intervalo $ (p-\delta, p +\delta) $, $ | f (x) - f (p) <\epsilon $.

Intentemos eso para la primera función que presentas. Si $ p $ es racional y diferente de cero, entonces cualquier vecindad de $ p $ tendrá puntos con $ x $ irracional y $ f (x) = 0 $, por lo que al elegir $ \epsilon = p / 2 $, vemos que no se cumple la definición de continuidad en $ p $. Y si $ p $ es irracional, cualquier vecindad de $ p $ contendrá puntos con $ x $ racional y arbitrariamente cerca de $ p $ para que $ f (x) $ esté arbitrariamente cerca de $ p $, no obstante, $ f (p) = 0 $. Nuevamente, al elegir $ \epsilon = p / 2 $ se muestra que $ f (x) $ no es continua en $ x = p $.

Pero ahora mira $ x = 0 $. Entonces, para cualquier $ \epsilon <0 $, si elegimos $ \delta = \epsilon / 2 $, cada punto $ x $ con $ -\delta

Ahora mira $ g (x) $. Para $ x $ que no es un entero, se aplican los mismos argumentos que muestran que $ f (x) $ no es continua a $ g (x) $. Ahora considera cualquier número entero $ x = n $, incluido cero. En todos los puntos racionales $ n

Entonces $ g (x) $ es discontinua en todas partes.