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Please provide the English text you'd like me to translate.

Estaba leyendo "Steven G. Krantz - Handbook of Complex Variables" y encontré una integral de superficie compleja llamada "integral de área de Lusin":

Si $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ es un dominio y $\varphi: \Omega \to \mathbb{C}$ es una función analítica uno a uno, entonces $\varphi(\Omega)$ es un dominio, y

$\text{área}(\varphi(\Omega)) = \int\limits_{\Omega} | \varphi'(x + \mathrm{i} y) |^2 \ \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

El libro no incluye una demostración, así que intenté crear una por mi cuenta:

Dado que toda función analítica uno a uno se puede escribir como:

$\varphi(z) = e^{i\theta} \frac{a - z}{1 - \overline{a}z}$ para un $\theta$ adecuado y $|a| < 1$, basta con mostrar la afirmación para $\tilde \varphi(z) = \frac{a-z}{1-\overline{a} z}$ con $|a| < 1$.

Pero ahora estoy atascado y no puedo encontrar información sobre esta integral en internet. Calcular $|\tilde \varphi'(z)|^2$ me da algo que no puedo integrar.

¿Alguna idea?

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Scott Fox Puntos 632

Vale, lo tengo. En realidad es muy fácil. Todo lo que tienes que saber es que $\varphi(\Omega) = \Omega$ y que $|\varphi'(z)|^2$ es el determinante del jacobiano. Luego, la afirmación sigue por simple sustitución.

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