¿La distribución normal sesgada y la distribución sesgada de Cauchy son colas pesadas?

Question

Creo que el título es autoexplicativo. Entiendo que la asimetría y el comportamiento de la cola de algunas distribuciones no están relacionados, ya que cualquier distribución simétrica tendrá una asimetría de cero, independientemente de lo pesadas que sean sus colas.

Sin embargo, me preguntaba (i) si la distribución skew-normal y la distribución Cauchy asimétrica tienen colas pesadas.

(ii) Además, podemos obtener una distribución sesgada utilizando un procedimiento de selección. Es decir, si $X$ e $Y$ son Gaussianas (o Cauchy), $\frac{d}{dz}P(X-kY\leq z|Y>0)$ representa una densidad de una versión sesgada de la distribución normal (o Cauchy). ¿Qué hay de las colas de esas distribuciones sesgadas construidas de esta manera?

Nota: Digo que la distribución de una variable aleatoria $X$ es pesada en la cola si $\lim \limits_{x\rightarrow \infty} e^{tx} P(X>x) = \infty$ para todo $t>0$.

Answer 1

Voy a suponer que estás feliz de aceptar que el normal ordinario (simétrico) tiene colas ligeras y el Cauchy ordinario (simétrico) tiene colas pesadas.

Es fácil ver que la skew-normal indicada no tiene colas pesadas. Discutiré el 'caso estándar' de la skew-normal; el caso de escala-locación realmente no implica más trabajo.

Tomando $f(x)=2\Phi (x)\Phi (\alpha x)$, podemos ver inmediatamente que $f(x)<2\Phi(x)$, entonces $P(X>x)<2(1-\Phi(x))$. De hecho, podemos ver que $\lim \limits_{x\rightarrow \infty} e^{tx} P(X>x)$ es menor que dos veces el de una normal estándar (que ya sabemos que tiene colas ligeras, por lo que sabemos que la integral es finita aún antes de intentar evaluarla).

Estaba algo sorprendido de que seleccionaras la skew-Cauchy vinculada (hay varias otras), porque está asociada con una skew-normal diferente (que se puede encontrar dentro del artículo al que enlacé).

Se puede utilizar un enfoque algo similar al que utilicé para la skew-normal. Vamos a restringir la consideración a la mitad derecha (es decir, considerar solo $x>\mu$). Entonces la densidad es proporcional a la densidad de un Cauchy (debido al parámetro $\lambda$), por lo que $P(X>x)$ es proporcional a la de un Cauchy. En consecuencia, el límite tiende a infinito porque la cantidad correspondiente para el Cauchy lo hace.

Entonces (sin tener que evaluarlo en ninguno de los casos) esa skew-normal en particular tiene colas ligeras y esa skew-Cauchy en particular tiene colas pesadas.