Encontrar $\lim_{x\to 0^+} \ln x\cdot \ln(1-x)$

Question

Encontrar $$\lim_{x\to 0^+} \ln x\cdot \ln(1-x)$$

He sido incapaz de utilizar la media aritmética de las reglas de límites infinitos, como $\ln x$ enfoques $-\infty$$x\to 0^+$, mientras que $\ln(1-x)$enfoques $0$$x\to 0^+$, y la media aritmética de las reglas para la multiplicación de límites infinitos sólo se aplica cuando uno de los límites es finito y distinto de cero.

Puede alguien me apunte en la dirección correcta para encontrar este límite? He sido incapaz de continuar..

(Spoiler: he comprobado WolframAlpha y el límite es igual a $0$, pero esta información no ha ayudado a continuar)

Answer 1

Escribir $$ \ln x\cdot\ln(1-x)=\frac{\ln(1-x)}{1/\ln x}. $$

Este es de la forma $f/g$ con límite indeterminado de la forma $0/0$.

Permítanos calcular $f'/g'$. Nos encontramos $$ \frac{x(\ln x)^2}{1-x}. $$

Ahora, tal vez usted está permitido el uso de ese $\lim_{x\rightarrow 0}x(\ln x)^2=0$.

En este caso, se puede concluir que el límite es de $0$ por L'Hospital.

Si usted necesita demostrar a $\lim_{x\rightarrow 0}x(\ln x)^2=0$, do L Hospital dos veces más.

Answer 2

Desde $\lim_{x\to0} x \cdot \ln x=0$ $\lim_{x\to0} \frac{\ln(1-x)}{x}=-1$ $$\lim_{x\to 0^+} \ln x\cdot \ln(1-x)=\lim_{x\to 0^+} (x\ln x)\times \lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\ln(1-x)}{x}\right)=0\times-1=0.$$

Answer 3

$$\lim_{x \to 0^+} \ln x\cdot \ln(1-x)= \lim_{x \to 0^+} x\ln x \cdot \frac{\ln(1-x)}{x} \,.$$

$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1$$

ya que esto es sólo la definición de la derivada de $\ln(1-x)$$x=0$.

También, con $y= \ln(x)$:

$$ \lim_{x \to 0^+} x\ln x =\lim_{y \to -\infty} e^yy =0$$

Answer 4

Sugerencia: Otro enfoque, que es similar a la de @Mhenni es:

Al $x\to 0$ y sabemos que $\alpha(x)$ es muy pequeña, $$\ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x)$$

Answer 5

Sugerencia: $$ \ln(x)\ln(1-x)=-\ln(x)( x+\frac{x^2}{2}+\dots ) .$$