Polos y ceros en inglés

Question

¿Alguien podría explicar, o proporcionar una buena referencia para una explicación de Poles and Zeros en, por ejemplo, un compensador de suministro de energía, o cualquier sistema de control en cuestión? No busco realmente una explicación matemática, ya que eso parece bastante directo, pero lo que significan en un sentido práctico.

Parece común, por ejemplo, que los documentos o notas de aplicación mencionen algo como "una configuración de amplificador de error de tipo III tiene tres polos (uno en el origen) y dos ceros" o "agregar el capacitor C1 introduce un cero adicional en el sistema" como si se supone que debo entender algo sin más explicaciones. En realidad, estoy como "uf, ¿y qué?"

Entonces, ¿qué significaría algo así en un sentido práctico? ¿Son los polos puntos de inestabilidad? ¿El número de ceros y polos indican algo sobre la estabilidad, o la falta de ella? ¿Existe alguna referencia sobre esto escrita de una manera comprensible que me permita (más por un uso práctico, no matemáticas hardcore por el mero hecho de las matemáticas) unirme al grupo selecto cuando se trata de notas de aplicación que referencian Zeros y Polos?

Answer 1

En resumen, los polos y ceros son una forma de analizar la estabilidad de un sistema de retroalimentación.

Intentaré no ser muy matemático, pero no estoy seguro de cómo explicar sin al menos algo de matemáticas.

Aquí está la estructura básica de un sistema de retroalimentación:

En esta forma no hay ganancia o compensación en la ruta de retroalimentación, está ubicada completamente en la ruta directa, sin embargo, la porción de retroalimentación de sistemas más generales puede transformarse para verse así y analizarse de la misma manera.

La función de transferencia en el cuadro se llama \$L(s)\$ porque el análisis se hace frecuentemente en el espacio de la transformada de Laplace. Las transformadas de Laplace son similares a las transformadas de Fourier, por lo que puedes pensar en \$L(s)\$ como una respuesta de frecuencia. Por ejemplo, un filtro de paso bajo perfecto tiene \$L(s) = 1\$ para \$s\$ menor que la frecuencia de corte, y \$L(s) = 0\$ por encima de la frecuencia de corte.

\$L(0)\$ es la ganancia de CC del sistema. Para un sistema de control de retroalimentación, una ganancia de CC grande es deseable porque reduce el error de seguimiento en estado estacionario del sistema.

Polos y Ceros

\$L(s)\$ es una función de valor complejo. Usualmente se utiliza la forma polar \$A e^{i \theta}\$; $A$ es la magnitud y \$\theta\$ es la fase. La magnitud de \$L(s)\$ también se llama ganancia.

Los polos y ceros proporcionan una forma conveniente y rápida de pensar en las propiedades de \$L(s)\$. Al hacer una representación gráfica aproximada de \$L(s)\$, los polos contribuyen con -90° de fase por encima de la frecuencia del polo y causan que la magnitud "disminuya". Los ceros hacen lo contrario, contribuyen con +90° de fase y la magnitud aumenta. Probablemente tenga más sentido al ver las imágenes y la sección "Reglas para el trazado manual de Bode" de http://en.wikipedia.org/wiki/Bode_plot.

Para que un sistema sea estable, la magnitud de \$L(s)\$ necesita caer por debajo de la unidad antes (a una frecuencia más baja) de que la fase alcance los -180°. Típicamente se requiere cierto margen aquí; "margen de ganancia" y "margen de fase" son dos formas de medir qué tan lejos está \$L(s)\$ del punto (1, -180°).

Como ejemplo simple, un amplificador operacional podría tener \$L(s) = \frac{10^{6}}{s}\$. En este caso hay un polo en cero y ningún cero. Como se esperaría para un amplificador operacional, hay una ganancia de CC grande. La ganancia disminuye a medida que la frecuencia aumenta desde CC (debido al polo en cero). Según este modelo, el sistema no puede ser inestable porque la fase nunca es menor que -90°.

Cuando leas una nota de aplicación que hable sobre polos y ceros, es posible que necesites descubrir la forma general de \$L(s)\$ para el sistema en cuestión, o tal vez puedas sacar algunas conclusiones solo de una lista de polos y ceros. Agregar un polo o un cero a un sistema cambiará tanto el margen de ganancia como el de fase; agregar un polo y un cero juntos (a frecuencias diferentes, ambas por debajo del cruce de -180°) cambiará el margen de ganancia pero no el margen de fase. Agregar dos ceros y dos polos puede crear un bulto en \$L(s)\$ (piensa en un filtro pasa banda), sin cambiar ni el margen de ganancia ni el de fase.

Espero que esto ayude. En general, esperaría que las hojas de datos y las notas de aplicación sugirieran valores para los componentes de compensación para que el usuario no tenga que analizar la estabilidad a menos que haya requisitos especiales. Si tienes en mente una pieza específica con la que estás teniendo problemas y publicas un enlace a la hoja de datos, podría ofrecer algo.

Answer 2

1. Un sistema de retroalimentación (como cualquier otro circuito de CA) puede ser descrito utilizando una función compleja \$L(s)\$. Se llama la función de transferencia del sistema y describe todo su comportamiento lineal.

2. \$L(s)\$ se puede representar en dos gráficos: uno para la magnitud y otro para la fase, ambos en función de la frecuencia (los gráficos de Bode). Estos gráficos nos permiten determinar fácilmente la estabilidad del sistema. Un sistema inestable obtiene un cambio de fase de 180° (por lo que una retroalimentación negativa repentinamente se convierte en una positiva) mientras aún tiene cierta ganancia.

3. Cada función compleja que describe un circuito eléctrico está completamente definida por sus polos y ceros. Si escribes la función como una razón de dos polinomios de \$j\omega\$ entonces los ceros son puntos donde el numerador es igual a \$0\$ y los polos son ceros del denominador.

4. Es bastante fácil dibujar gráficos de Bode a partir de los polos y ceros, por lo que son el método preferido para especificar los sistemas de control. Además, si puedes ignorar la carga de salida (porque separaste las diferentes etapas con amplificadores operacionales), entonces simplemente puedes multiplicar las funciones de transferencia sin realizar todos los cálculos normales del circuito. La multiplicación de razones polinomiales significa que puedes simplemente concatenar las listas de polos y ceros.

Entonces volviendo a tu pregunta:

1. Consulta la página de Wikipedia para obtener una introducción y este tutorial como referencia sobre cómo dibujar gráficos de Bode a partir de una lista de polos y ceros.

2. Lee un poco sobre los aspectos prácticos en la transformada de Laplace. Versión corta: simplemente calculas el circuito como lo harías con números complejos pero sustituyendo \$s\$ donde escribirías \$j\omega\$. Luego encuentras \$V_{out} \over V_{in}\$ y tienes tu función de transferencia.

3. Desde una función de transferencia de lazo abierto (imagina cortar el lazo con unas tijeras y colocar algún tipo de medidor de respuesta en frecuencia ahí) dibujas gráficos de Bode y verificas la estabilidad. La nota de aplicación Feedback, Op Amps and Compensation es corta y densa pero tiene toda la teoría que necesitas para esta parte. Intenta al menos echarle un vistazo rápido.

Answer 3

Un polo es una frecuencia donde un filtro resuena y, al menos matemáticamente, tendría ganancia infinita. Un cero es donde bloquea una frecuencia, ganancia cero.

Un simple capacitor de bloqueo de corriente continua, como para acoplar amplificadores de audio, tiene un cero en el origen: bloques de señales de 0 Hz, es decir, bloquea voltaje constante.

Generalmente, estamos tratando con frecuencias complejas. Consideramos no solo señales que son sumas de ondas seno/coseno, como lo hizo Fourier; teorizamos sobre senos/cosenos que crecen o decaen exponencialmente. Los polos y ceros que representan tales señales pueden estar en cualquier lugar del plano complejo.

Si un polo está cerca del eje real, que representa ondas senoidales normales estables, eso representa un filtro de paso de banda afinado de manera aguda, como un circuito LC de alta calidad. Si está lejos, es un filtro de paso de banda suave y lento con un valor de 'Q' bajo. El mismo tipo de razonamiento intuitivo se aplica a los ceros: las muescas más nítidas en el espectro de respuesta ocurren donde los ceros están cerca del eje real.

La función de transferencia L(s) que describe la respuesta de un filtro debe tener igual número de polos y ceros. Este es un hecho básico en análisis complejo, válido porque estamos tratando con componentes lineales enlazados descritos por álgebra simple, derivadas e integrales, y podemos describir senos/cosenos como funciones exponenciales complejas. Este tipo de matemáticas es analítico en todas partes. Es común no mencionar polos o ceros en el infinito, sin embargo.

Cualquiera de las entidades, si no están en el eje real, aparecerán en pares, en una frecuencia compleja y su conjugado complejo. Esto se relaciona con el hecho de que las señales reales resultan en señales reales. No medimos voltajes de números complejos. (Las cosas se vuelven más interesantes en el mundo de las microondas).

Si L(s)= 1/s, ese es un polo en el origen y un cero en el infinito. Esta es la función de un integrador. Aplica un voltaje constante y la ganancia es infinita, la salida sube sin límite (hasta que alcance el voltaje de suministro o el circuito se queme). En el extremo opuesto, poner una frecuencia muy alta en un integrador no tendrá ningún efecto; se promedia a cero con el tiempo.

Los polos en el "plano derecho" representan una resonancia en alguna frecuencia que hace que una señal crezca exponencialmente. Por lo tanto, quieres polos en el lado izquierdo, lo que significa que para cualquier señal arbitraria introducida en el filtro, la salida finalmente decaerá a cero. Eso es para un filtro normal. Por supuesto, los osciladores deberían oscilar. Mantienen una señal estable debido a las no linealidades: los transistores no pueden emitir más de Vcc o menos de 0 voltios para la salida.

Cuando miras un gráfico de respuesta en frecuencia, podrías suponer que cada bulto corresponde a un polo y cada abolladura a un cero, pero eso no es estrictamente cierto. Y los polos y ceros lejos del eje real tienen efectos que no son aparentes de esa manera. Sería bueno si alguien inventara una aplicación web en Flash o Java que te permitiera mover varios polos y ceros a cualquier lugar y trazar la respuesta.

Todo esto es simplificado, pero debería dar una idea intuitiva de lo que significan los polos y los ceros.

Answer 4

Un comentario rápido sobre una respuesta muy valorada arriba:

"En resumen, los polos y ceros son una forma de analizar la estabilidad de un sistema de retroalimentación."

Aunque la afirmación es cierta, el sistema no tiene que tener retroalimentación para que estos conceptos sean útiles. Los polos y ceros son útiles para comprender la mayoría de los sistemas reales con una respuesta de frecuencia, que no sea una respuesta plana, como filtros, amplificadores y cualquier tipo de sistema dinámico.

Para agregar algo de matemáticas (tenemos que hacerlo, es un concepto matemático), puedes (para muchos sistemas) expresar la respuesta de frecuencia de un sistema como:

H(f) = B(f) / A(f)

y B(f) y A(f) se pueden expresar como polinomios complejos en frecuencia.

Un ejemplo simple: Considera un filtro paso bajo RC (voltaje de entrada -> resistencia en serie -> condensador en derivación -> voltaje de salida).

La ganancia (función de transferencia) se puede expresar en el dominio de la frecuencia como:

Vout(f)/Vin(f) = H(f) = 1 / (1 + j*2*pi*f*R*C),

donde j (o i) es la raíz cuadrada de -1.

Hay un polo en la frecuencia fp = 1/(2 pi RC). Si graficas la magnitud de esta ecuación compleja, encontrarás que la ganancia en CC es 1 (0 dB), que la ganancia baja a -3 dB en f = fp = 1/(2*pi*RC), y que la ganancia continúa bajando a -20 dB por década (aumento de 10 veces) en frecuencia después del polo.

Por lo tanto, puedes pensar en el polo como un punto de quiebre en la respuesta de ganancia vs. frecuencia. Este ejemplo simple es un filtro paso bajo con una "frecuencia de corte" en w=1/(RC) o f=1/(2 pi RC).

En términos matemáticos, un polo es una raíz del denominador. De manera similar, un cero es una raíz del numerador, y la ganancia aumenta en frecuencias por encima de un cero. La fase también se ve afectada... pero tal vez eso sea más que suficiente para un hilo no matemático.

El "orden" es el número de polos y el "tipo" es el número de polos en f=0 (integradores puros).

Answer 5

Permítanme intentar simplificar esto incluso más que las explicaciones detalladas que se han publicado anteriormente.

Lo primero que hay que darse cuenta es que los polos y ceros, para los tipos de sistemas de control, implican que estamos en el dominio de Laplace. La transformada de Laplace se creó para permitir que las ecuaciones diferenciales e integrales se trataran de manera algebraica. La 's' en una ecuación de Laplace significa "la derivada de" y "1/s" significa "tomar la integral de". Pero si tienes un bloque que tiene una función de transferencia de (1+s) seguido por otro con una función de transferencia (FT) de (3 - 5/s) puedes obtener la función de transferencia total simplemente multiplicando (1 + s) por (3 - 5/s) y obteniendo (3s - 5/s - 2), lo cual es considerablemente más fácil que si te hubieras quedado en el dominio regular y tuvieras que trabajar con integrales y derivadas.

Por lo tanto, en cuanto a la pregunta --> un polo significa que la función de transferencia global tiene un 's' cuyo valor es infinito. (Como puedes imaginar, esto a menudo es algo muy malo). Un cero significa exactamente lo contrario: un valor de 's' da como resultado que la T.F. global = 0. Aquí tienes un ejemplo:

Una FT es (s+3)/(s+8). Esta FT tiene un cero en s = -3 y un polo en s = -8.

Los polos son un mal necesario: Para hacer algo útil, como, por ejemplo, hacer que la salida de un sistema real siga una entrada, necesitas absolutamente polos. A menudo necesitas diseñar el sistema con más de uno. Pero, si no supervisas tu diseño, uno o más de esos polos podrían desviarse hacia el "s es igual a un número con una componente real positiva" (es decir, la mitad derecha del plano). Esto significa un sistema inestable. A menos que estés construyendo intencionalmente un oscilador, esto suele ser muy malo.

La mayoría de los sistemas en bucle abierto tienen polos y ceros que son fácilmente caracterizados y se comportan muy bien. Pero cuando deliberadamente (o accidentalmente, lo cual es extremadamente fácil de hacer) tomas una parte de la salida y la devuelves a alguna parte anterior del sistema, has creado un sistema de retroalimentación en bucle cerrado. Los polos y ceros en bucle cerrado ESTÁN relacionados con los polos y ceros en bucle abierto, pero no de una manera intuitiva para el observador casual. Basta decir que aquí es donde los diseñadores a menudo se meten en problemas. Esos polos en bucle cerrado necesitan permanecer en el lado izquierdo del plano de Laplace. Las dos técnicas más comúnmente utilizadas para lograrlo son controlar la ganancia general a través de la ruta en bucle cerrado y/o agregar ceros (a los ceros en bucle abierto les encantan los polos en bucle abierto, y a menudo hacen que los polos en bucle cerrado se comporten de manera muy diferente).